Добрый день, самостоятельно выполняю задания из учебника. Задача представлена на картинке.

Провалидируйте, пожалуйста, ход мыслей моего доказательства.

Доказательство: Чтобы понять, что синус угла меньше радианной меры угла, необходимо сравнить длину дуги, образованную данным углом и радиусом, который является также катетом прямоугольного треугольника, в котором существует синус угла.

Для удобства доказательства возьмем угол, равный 30 градусам. В этом случае по свойству прямоугольного треугольника длина противолежащего катета будет равняться половине гипотенузы. Длина гипотенузы равна 1. Поэтому длина противолежащего катета равна 1/2, а значение синуса угла равно 1/2, деленной на 1, то есть тоже 1/2. Длина дуги. Радианная мера угла 30* будет равна (pi/180)*30, то есть pi/6. Радиана — это отношение длины дуги к радиусу, радиус равен 1, поэтому длина дуги будет равна pi/6.

Исходя из того, что угол, который находится в треугольнике, в котором находится синус, и угол, образующий дугу между двух радиусов, один и тот же. А также катет треугольника есть также радиус окружности, на которой находится дуга, можно выявить отношение между катетом и длиной дуги, как отношение значения синуса угла к радианной мере этого же угла.

1/2 < pi/6; 0.5 < 0.52, то есть радианная мера угла больше значения синуса.

Если мы будем увеличивать угол, то пропорционально будут увеличиваться и значения синуса и радианной меры угла, если от 0 до 90 гр.

Из свойства синуса мы знаем, что синус может принимать значения от -1 до 1 при увеличении угла (а длина катета от 0 до 1, ибо длина — это модуль), а радиана — от 0 до pi при увеличении, из чего можно следует, что отношение не будет нарушено при любом угле.