Основная здесь проблема - избавиться от корня из синуса. Это можно сделать графическим методом: на интервале (0; 2): sqrt(sin(x)) > x/3 - и действительно, если построить графики y=sqrt(sin(x)) и y=x/3. то первый график будет располагаться выше второго.
Таким образом, для всех "икс" из интервала (0; 2) верно неравенство:
sqrt(sin(x))/(x^2*(x+4)) > x/(3x^2*(x+4))
sqrt(sin(x))/(x^2*(x+4)) > 1/(3x*(x+4))

Далее вычисляем несобственный интеграл от 1/(3x*(x+4)) и по признаку сравнения из его расходимости следует расходимость исходного интеграла