Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

2.6.2. Центр тяжести тела

Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры решалась с помощью двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным способом – с помощью тройного интеграла.

Что такое центр тяжести тела, довольно удачно объяснил ещё Архимед. Если тело подвесить на нить за центр тяжести, то оно будет сохранять равновесие в любом положении (как бы мы его предварительно ни повернули). В известной степени это не реализуемо (таки центр тяжести внутри тела), но зато очень понятно. И вполне в стиле древнегреческого учёного, который просил дать ему точку опоры, чтобы с помощью рычага перевернуть Землю.

Центр тяжести неоднородного тела рассчитывается по формулам:
, где – функция плотности тела, а – масса тела.

Если же тело однородно (стеклянное, оловянное, пластмассовое и т.д.), то формулы упрощаются. Так как плотность постоянна, и масса – есть произведение плотности на объём, получаем:
, а объём тела рассчитывается (ещё не забыли? =)) с помощью тройного интеграла .

Для центра тяжести однородного тела справедливы следующие утверждения:

– если у тела есть центр симметрии, то он является центром тяжести (простейший пример – центр шара);

– если у тела существует линия симметрии, то центр тяжести обязательно принадлежит данной линии;

– если у тела есть плоскость симметрии, то центр тяжести непременно лежит в этой плоскости.

Как видите, практически полная аналогия с центром тяжести плоской фигуры.

Ну и, само собой, не могу не порадовать вас тематической задачей:

Пример 42

Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями , . Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Решение: искомое тело ограничено координатными плоскостями и плоскостью , которую в целях последующего построения удобно представить в отрезках: . Выберем «а» за единицу масштаба и выполним трёхмерный чертёж:

На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем.
Проекция тела на плоскость очевидна, но, тем не менее, напомню, как её найти аналитически – ведь такие простые случаи встречаются далеко не всегда. Чтобы найти прямую, по которой пересекаются плоскости нужно решить систему, составленную из их уравнений:

Подставляем значение в 1-е уравнение системы: и получаем уравнение «плоской» прямой:

Для взятия грядущих интегралов выберем «классический» порядок обхода тела:

Координаты центра тяжести тела вычислим по формулам:
, где – объём данного тела. И понеслась песня:

1) Сначала вычислим объём тела. Его, кстати, можно узнать заранее, пользуясь известной задачей геометрии об объёме тетраэдра. Объём тетраэдра равен 1/6-й объёма прямоугольного параллелепипеда, построенного на его трёх смежных рёбрах. В нашем случае параллелепипед представляет собой куб с ребром «а», а посему: .
Осталось аккуратно провести штатные вычисления:

В примерах с громоздкими преобразованиями рекомендую записывать решение «столбиком» – меньше шансов запутаться:
(да, так можно – сразу снести в средний интеграл)

, и дело за тремя тройными интегралами:

2) Вычислим «иксовый» интеграл, …и местечка у меня тут не хватает, поэтому решение в столбик отменяется:

Таким образом, «иксовая» координата центра тяжести: , ну что же, выглядит правдоподобно, по крайне мере, мы «попали внутрь» тела.

Учитывая симметрию тела, две другие координаты должны получиться такими же. Теперь ошибочный финал практически исключён! И я вам предлагаю рассчитать самостоятельно, после чего можно записать красивый ответ.

…А вы, наверное, не так давно и представить себе не могли, что окажетесь в эпицентре такого кошмара =)

3. Криволинейные интегралы

2.6. Физические приложения тройного интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин