2.1. Понятие тройного интеграла

Тройные интегралы – это то, чего уже можно не бояться :)

Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

И в самом деле, чего тут опасаться? Интегралом меньше, интегралом больше….

Разбираемся в записи:
– значок тройного интеграла;
– подынтегральная функция трёх переменных;
– произведение дифференциалов.
– область интегрирования.

Особо остановимся на области интегрирования. Если в двойном интеграле, она представляет собой плоскую фигуру, то здесь – пространственное тело, которое, как известно, ограничено множеством поверхностей.

! Поэтому для дальнейшего изучения материала вы должны ориентироваться в основных поверхностях и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи.

Без этого дальше, увы, никак. Знания можно быстро поднять в соответствующей методичке либо в последней главе моей книги по аналитической геометрии.

1.1.1. Что значит решить тройной интеграл?

Решить (вычислить) тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО:

В простейшем случае, когда , тройной интеграл численно равен объёму тела . В общем случае (для произвольной функции , непрерывной в области ) у интеграла есть важный физический смысл, но о нём позже.

1.1.2. Как решить тройной интеграл?

Чтобы решить тройной интеграл нужно определить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам. После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами.

Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы, с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность (грубо говоря, высота). И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы. Развеем оставшиеся сомнения:

2.2. Как вычислить объём тела с помощью тройного интеграла?

1.6. Центр тяжести плоской фигуры

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин