2.6. Физические приложения тройного интеграла

Сначала разомнёмся физически (давно пора), тело – в дело :). Пожалуйста, встаньте и найдите какой-нибудь пакет или мешок. Можно коробку. Теперь походите по квартире, ну или по улице и наведём порядок. А именно, наполним тару мусором.

…Очень хорошо, молодцы! В результате ваших трудов получено ограниченное тело неоднородной плотности. Как говорится, есть бумажка, а есть жестяная крышка. Воздух, кстати, тоже обладает вполне определённой плотностью. Напоминаю, что физическая плотность – есть отношение единицы массы к единице объёма, например, 100 грамм на кубический метр (средняя плотность хлопка) или 19,32 грамма на кубический сантиметр (да, всего лишь на сантиметр – это плотность чистого золота).

Ставим мешок рядышком и читаем дальше:

2.6.1. Масса тела

Рассмотрим неоднородное (переменной плотности) тело . Если известна непрерывная в области функция плотности тела, то его масса равна следующему тройному интегралу:

Возможно, не всем до конца понятен смысл функции плотности. Поясняю: если взять произвольную точку , принадлежащую телу , то значение функции будет равно плотности тела в данной точке. В частности, если эта функция равна константе: , то речь идёт об однородном теле («мешок» хлопка или золота, например).

Но на практике не всё так легко:

Пример 50

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности .

Решение: искомое тело ограничено цилиндром сбоку, эллиптическим параболоидом – сверху и плоскостью – снизу. Дополнительные условия «загоняют нас» в 1-й октант, и проекция тела на плоскость представляет собой соответствующую «четвертинку» единичного круга:

Аналитическим методом уточним высоту, на которой параболоид пересекает цилиндр: и выполним пространственный чертёж:

Проекция тела на плоскость сразу же наводит на мысль о переходе к цилиндрической системе координат . Найдём уравнения поверхностей в этой системе:
– цилиндр;
– и параболоид.