Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

2.4. Как вычислить произвольный тройной интеграл?

Отработаем технику и тонкости лечения пациентов , у которых подынтегральная функция трёх переменных в общем случае отлична от константы и непрерывна в области :

Пример 42

Вычислить по области

На практике тело также обозначают буквой , но это всё-таки не очень хороший вариант, ввиду того, она «зарезервирована» под обозначение объёма.

И вновь скажу, чего делать НЕ НАДО. По аналогии с двойными интегралами, здесь не нужно пользоваться свойством линейности и представлять интеграл в виде . Хотя, если очень хочется, то можно. В конце концов, есть и небольшой плюс – запись будет пусть длинной, но зато менее загромождённой. Но такой подход всё-таки не стандартен.

В самом алгоритме решения новизны будет немного. Сначала нужно разобраться с областью интегрирования и её «тенью». Проекция тела на плоскость представляет собой до боли знакомый треугольник:
Сверху тело ограничено плоскостью , которая проходит через начало координат. Предварительно, к слову, нужно обязательно проверить (мысленно либо на черновике), не «срезает» ли эта плоскость часть треугольника. Для этого находим её линию пересечения с координатной плоскостью , т.е. решаем простейшую систему: – нет, данная прямая (на чертеже отсутствует) проходит «мимо» заштрихованной области, и проекция тела на плоскость действительно представляет собой весь треугольник.

Не сложен здесь и пространственный чертёж:

В действительности можно было ограничиться только им, поскольку проекция очень простая. …Ну, или только чертежом проекции, так как тело тоже простое =) Однако совсем ничего не чертить, напоминаю – это плохой выбор.

Выберем следующий порядок обхода тела:

и перейдём к повторным интегралам:

Актуализируем элементарное правило:

Когда функция дифференцируется по какой-либо переменной, то два других аргумента считаются константами.

И коль скоро так, то очевидно, справедливо и обратное:

Когда функция интегрируется по какой-либо переменной, то два других аргумента считаются константами.

С повторными интегралами разберёмся друг за дружкой; ввиду кропотливости вычислений, я закомментирую почти каждый шаг:

1) Вычислим внутренний интеграл, сначала решение, затем комменты:

(1) При интегрировании по «зет» и считаются константами. В данном случае присутствует только «игрек», но это не меняет дела. Мысленно либо на черновике выполняем проверку, а именно берём частную производную по «зет»:
, что и хотелось увидеть.
(2) Теперь используем формулу Ньютона-Лейбница: сначала ВМЕСТО «зет» подставляем верхний предел интегрирования , затем – нижний предел (ноль). После подстановок буквы «зет» остаться не должно!

Сносим трофей в следующий интеграл:

2) По существу, решение свелось к двум переменным и к двойному интегралу:

(1) Используем свойства линейности интеграла, принимая во внимание тот факт, что «игрек» считается константой. Не возбраняется оставить интеграл единым, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но это менее рационально (можете попробовать).
(2) Используем метод подведения под знак дифференциала. Если рассуждения воспринимаются совсем тяжко, мысленно замените «игрек» каким-нибудь конкретным числом, например, «пятёркой».
(3) Интегрируем по «икс» и выполняем проверку дифференцированием:

– исходная функция.
(4) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала ВМЕСТО «икс» (переменной, по которой проводилось интегрирование) подставляем , затем – ноль. После подстановок пределов интегрирования буквы «икс» остаться не должно!
Причёсываем результат и сносим его в последний интеграл, не забывая про находящуюся перед интегралом константу (пятнадцать):

3) Не расслабляемся:

Ответ:
Результат безразмерен – просто число и всё. Но это «просто» лишь в рамках предложенной задачи, у тройного интеграла тоже есть физический смысл, о котором мы поговорим позже. Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 43

Вычислить тройной интеграл
,

До сих пор мы рассматривали два способа решения – это проецирование на плоскость и выбор порядка обхода проекции. Но на самом деле комбинаций больше – тело можно спроецировать на любую из трёх координатных плоскостей и каждую проекцию обойти двумя путями. Таким образом, получается шесть способов решения. И логично предположить, что некоторые из них могут быть проще, а некоторые – труднее.

Наверняка многие обратили внимание, что в Примере 42 я выбрал более редкий порядок обхода проекции, хотя ничто не мешало пойти «обычным» путём. Это не случайность. В результате нахождения интеграла получена сумма , в которой чуть выгоднее считать константой именно «игрек», что при прочих равных условиях (из уравнения прямой одинаково легко получить и ) упрощает решение. А в некоторых задачах выбор порядка интегрирования и вовсе становится ОЧЕНЬ важным:

Пример 44

Вычислить тройной интеграл по области
Решение: область интегрирования ограничена шестью плоскостями и представляет собой прямоугольный параллелепипед:

У незамысловатых областей, как эта, можно не обращать внимания на проекции и придерживаться следующего правила: обход тела осуществляется в направлениях координатных осей. Пределы интегрирования здесь очевидны:

Но вот с порядком обхода не всё так просто. Если выбрать «традиционный» путь и сначала интегрировать по «зет», то получается интеграл , который нужно брать по частям. Аналогичная история, если в первую очередь интегрировать по «игрек»: – тут даже дважды по частям.

Наиболее выгодным путём является первоочередное интегрирование по «икс», в этом случае переменные , а значит, и множитель считаются константами:

Перед тем, как подставлять пределы интегрирования, выполняем проверку:
– получена исходная подынтегральная функция. Продолжаем решение:

Буква «икс» (переменная интегрирования) испарилась, как оно и должно быть.

Осталось два направления обхода: , и следующий интеграл рациональнее взять по «зет» (чтобы множитель считался константой):

Промежуточная проверка:

, едем дальше:

В качестве дополнительного контроля снова смотрим, исчезла ли после подстановок переменная, по которой интегрировали («зет»)? И, наконец, оставшееся направление обхода и оставшийся интеграл:

Контроль:

, готово.

При подстановках следует проявлять повышенное внимание, так, например, при подстановке нуля в выражение второе слагаемое можно машинально счесть за ноль.

На чистовике, конечно же, не нужно всё расписывать так подробно, анализ порядка интегрирования и промежуточные проверки осуществляются мысленно либо на черновике. Решение оформляется стандартно в 3 пункта, но читатели с хорошим уровнем подготовки могут записать его и «одной строкой»:

Ответ:

Наверное, это понятно, но на всякий случай закомментирую: буквенные множители-«константы» в интегралах следует перемещать справа налево последовательно и без «перескоков» – до тех пор, пока каждая буква «не встретит свой интеграл». Условный пример:

Но это если переменные можно вообще отделить, так, у условного интеграла:
– ничего отделить и переместить нельзя.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 45

Вычислить тройной интеграл

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

Точно так же, как и при нахождении объёма, в некоторых интегралах удобен переход к цилиндрической системе координат, и мы, конечно же, разберём парочку задач; напоминаю, что все примеры я беру из реальных студенческих самостоятельных и контрольных работ. Поэтому не ленимся:

Пример 46

Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями .

Решение: уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2, и осталось прояснить ситуацию с уравнением . Для этого возведём обе его части в квадрат: – каноническое уравнение конической поверхности, при этом функция задаёт верхнюю её часть (поскольку при любых «икс», «игрек»).
Найдём линию пересечения сферы и конуса, для этого составим и решим систему, состоящую из их уравнений:
– подставим во 2-е уравнение:

– подставим в 1-е уравнение системы:

Таким образом, на высоте конус пересекается со сферой по окружности . Сверху область ограничена сферой, снизу – конусом, и в результате у нас получается вот такое симпатичное эскимо:

Проекцией тела на плоскость является круг и это наталкивает на мысль перейти к цилиндрическим координатам: . В этой системе координат уравнение окружности принимает вид и, очевидно, порядок обхода проекции таков: . Найдём уравнения поверхностей в новой системе координат:
– уравнение верхней части конуса;
– уравнение верхней полусферы.
«Луч лазера» входит в тело снизу через конус и выходит из него сверху через сферу , следовательно, вертикальное направление обхода: .

В результате:

Здесь мы на первом шаге перешли к цилиндрической системе координат, учитывая, что , на втором шаге расставили повторные интегралы в соответствии с проведённым выше анализом, и на третьем – расставили множители по своим «родным» интегралам.

Повторные интегралы щёлкаем друг за дружкой:

2) Результат предыдущего пункта подставляем в средний интеграл, не забывая, что там уже есть множитель :

3) И, наконец, полученную константу подставляем во внешний интеграл, причём её можно сразу вынести. Не забываем о множителе и тройке перед интегралом:

, готово.

Ответ:
Примечание: при вычислении можно было сразу взять интеграл и получить ноль (т.к. во внутренних интегралах от «фи» ничего не зависит), но такое решение вряд ли одобрят рецензенты. Тем не менее, оно встречается.

Простенькая область и сакральный результат:

Пример 47

Вычислить интеграл по телу

Решаем самостоятельно. Примерный образец чистового оформления задания в конце книги, оно почти устное.

Но этим всё дело не ограничивается! Читаем дальше:

2.5. Тройной интеграл в сферических координатах

2.3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин