Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

1.6. Центр тяжести плоской фигуры

Это популярное физическое приложение двойного интеграла.

О центре тяжести плоской фигуры я рассказывал ещё в курсе аналитической геометрии, и сейчас мы на пальцах повторим, что это такое. Вырежьте из тонкого куска картона произвольную фигуру, какую захотИте. …Есть? Поднимите указательный палец строго вверх J. Теперь положите картонку на палец и добейтесь того, чтобы она не сваливалась. Эта точка картонной фигуры – и есть её центр тяжести.

В студенческой практике для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура, то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная ~~чугунные игрушки, тяжёлое детство~~ и т.д. Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах.

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой или квадратной однородной пластины. Логично и по-житейски понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут такую халяву, и поэтому на помощь придётся привлечь серьёзный математический аппарат:

Координаты центра тяжести плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам:

, их также можно записать так:

, где – площадь фигуры (области ).

И наиболее компактная запись:
, где

Интеграл будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:
, где – масса фигуры;
в случае однородной плотности фигуры эти формулы упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела: …или есть? :)

Пример 29

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны: задаёт ось абсцисс, а уравнение – банальную параболу. Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой (проведена пунктиром), то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок» – это поможет проверить полученные значения на предмет явных ошибок.

…Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех двойных интегралов! А их тут будет три штуки:

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить «одной строкой», главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Но делать так-таки не советую – велика вероятность, что вас заставят решать по формуле.
В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Таким образом: , что и требовалось получить.
3) Найдём ординату центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл, внутри используем правило умножения многочленов:

В результате: , что очень и очень похоже на правду. На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку и записываем
Ответ:
Заметьте, что по условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Попроще:

Пример 30

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

И посложнее:

Пример 31

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

И это как раз тот случай, когда вроде бы выполнены предпосылки для перехода к полярной системе координат, но в результате получаются настолько харкордные интегралы, что уж лучше решать в декартовых координатах.

Примерные образцы решений в конце книги.

Но, разумеется, есть задачи, где решение в полярных координатах оправдано. Желающие могут в качестве тренировки найти центр тяжести фигуры из Примера 23, тем более, там уже найдена площадь. Верный ответ . С подробным решением этого, а также более сложных примеров можно ознакомиться в соответствующей статье сайта.

Ну а сейчас пришло время немного отдохнуть и повысить ставки:

2. Тройные инетгралы

1.5. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин