Чтобы функция была непрерывной требуется выполнение следующих условий:
1) Правый кусок будет непрерывным при 4ax+1 > 0, откуда находим область значений параметра а.
2) f(0) = ln1 + 0^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = b, то есть b=2;
3) Далее решаем уравнение c cos0+6*0 = 2, откуда находим c = 2

Дифференцируемость. При найденных значениях параметра функция будет не дифференцируема в точке стыка (x=0), строгое решение такой задачи можно найти в конце статьи:
http://mathprofi.ru/proizvodnaya_po_opredeleniju_primery_reshenii.html
(Пример 11)