Многоликий логарифм dx/(cosx)





Доброго времени суток всем!

Столкнулся с поразительной многоликость интеграла dx/(cosx).

 

Вот здесь: mathhelpforum.com/calculus/166843-integral-1-cosx.html

ребята получают такой ответ: (1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|

 

Вот здесь www.youtube.com/watch?v=fMf3yac9p8I

умный дядька выводит такой ответ: ln|(secx)*(tgx)|

что есть продолжение первого варианта (с синусами).

 

В задачнике Писменного же, в таблице неопределённых интегралов, даётся такой ответ:

int(dx/(cosx)) = -ln|tg( (x/2) + (pi/4) )|

 

И теперь мне не даёт покоя вопрос: как они умудрились свести аргумент логарифма к tg((x/2) + (pi/4))?!

 

Так как в тригонометрии не силён - прошу помощи зала :)

  • Автор сообщения: Alex

Всего: 2 комментария.
Добавить комментарий

аван    18.04.2016 в 23:09
Такой пример есть в статье "Сложные интегралы".
Там выводится похожий интеграл: dx/sin(x)=dx/2*sin(x/2)*cos(x/2)=dx/(2*sin(x/2)*cos(x/2)*cos^2(x/2)/cos^2(x/2))=d(tg(x/2))/(sin(x/2)/cos(x/2)=d(tg(x/2)/tg(x/2)=ln(tg(x/2))
По известной в тригонометрии формуле сводим cosx=sin(x+pi/2) и дальше идем по накатанной.
Не является ошибкой и ответ (1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|

Alex    21.04.2016 в 10:45
Понял, спасибо.