Исследовать сходимость знакочередующегося ряда





​Вот такой ряд

https://c.radikal.ru/c35/1808/c6/54d466274daa.jpg

1) Пытаюсь доказать, что он знакочередующийся

https://b.radikal.ru/b13/1808/27/0e1c9eab953d.jpg

Это неравенство выполняется.

Но, если расписать первые четыре члена ряда, получится 0.4 - 0.104433 - 0.151426 + 0.232774... Получается, что ряд не является знакочеред., ведь по определению: "ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков". То есть знаки членов ряда должны идти кат-то так "+-+-+-+-..." или так "-+-+-+-+...", а у меня "+--+...". Почему это происходит? Что я делаю не так?

2) Проверяю условия признака Лейбница.

Если предположить (не смотря на пункт 1), что ряд знакочередующийся, то первое условие признака Лейбница выполняется. 

https://d.radikal.ru/d08/1808/06/03dd8adbb500.jpg

Я вроде как доказал, что члены ряда убывают по модулю. Как доказать (без калькулятора) монотонность убывания членов ряда? Подскажите пожалуйста.

  • Автор сообщения: trydeu

Всего: 2 комментария.
Добавить комментарий

Александр Емелин    10.08.2018 в 18:11
Важно, чтобы ряд знакочередовался, начиная хоть с какого-то номера - тогда к нему (точнее, к его хвосту) можно применять признак Лейбница. Здесь значочередование начинается не сразу и его можно обосновать так:
- сначала посмотрим на числитель: в нём слагаемое 3n^2,5 более высокого порядка роста, чем оба других, поэтому, начиная с некоторого номера N (при желании его можно найти подбором), числитель будет положителен.
- знаменатель положителен при любом n.
Таким образом, начиная с номера N дробь будет положительна, а значит, ряд станет знакочередоваться (по причине множителя (-1)^n).

С монотонность, признаться, с ходу затрудняюсь - попробуйте составить разность соседних членов ряда: a(n) - a(n+1) и показать, что при n>N она будет положительной. Если не получится, не переживайте - тяжелых случаях монотонность обычно "прощают" :)

trydeu    10.08.2018 в 19:04
Спасибо! Теперь с чистой совестью могу дальше пробовать решать :)