Векторна функція скалярного аргументу. Похідна за напрямом. Градієнт. Скалярні там векторні поля.

28.1 Векторна функція скаларного аргументу.

Означення. Співвідношення, при якому кожному числу tТR ставиться у співвідношення, за певним законом, один і тільки один вектор , називається векторною функцією або вектор-функцією скалярного аргументу t .

Її позначають . Множину Т  називають областю визначення функції . В якості Т беруть відрізок  або  числової вісі. Число t називають параметром.

Як будь-який вектор, вектор-функцію  скалярного аргументу можна розкласти по базисним векторам  при фіксованому значенні t :

Безумовно, що координати x, y, z вектор – функції  є функціями від t, тобто , область визначення для яких співпадає з Т. Тому має місце три скалярні рівності: .

Якщо початком вектора  буде точка О, при різних значеннях tТ , то кінцева точка M(t) у просторі опише певну лінію, яку називають годографом вектор-функції . Рівність  називають векторно-параметричним рівнянням годографа, а рівності  — його параметричними рівняннями.

Якщо: , , , то вектор  називається границею вектор-функції  в точці t=t0. В цьому випадку має місце запис .

У випадку виконання умови  говорять, що вектор-функція  неперервна в точці t=t0 .

Якщо  — довільний прирост параметру, то

називають приростом вектор-функції . У випадку, коли існує границя :

то її називають похідною вектор-функції  в точці t  позначають , .

            Вектор  завжди направлений по дотичній до годографа функції  в сторону зростання параметра t . З фізичної точки зору,  — вектор миттєвої швидкості руху матеріальної точки по траєкторії, яка є годографом функції , в момент часу t  в точці M(t).

            Якщо існують похідні , то існує похідна :

Оскільки вектор направлений по дотичній до кривої  в точці M0 (t0), то рівняння дотичної до кривої в точці M0 має вигляд:

Площина,  яка  перпендикулярна дотичній і проходить через точку дотику M0 (t0), називається нормальною площиною до кривої в указаній точці. Її рівняння має вигляд:

 

Для векторної функції скалярного аргументу мають місце такі властивості:

1. ;

2.    , де С – стала;

3.     ;

4.   

 

 

 

28.1. Похідна за напрямом. Градієнт.

 

Напрям у просторі можна задавати за допомогою одиничного вектора з координатами , де — кути, що утворені вектором  з осями координат Ox, Oy, Oz відповідно.

Розглянемо функцію u = u (x,y,z) і точку М(x,y,z) в певній області D простору.

 

 

       Побудуємо з точки М вектор , направляючі косинуси якого . На векторі , на відстані  від його початку розглянемо точку М1(x+х,y+у,z+ z).

       Таким чином:

 

Будемо вважати, що функція u (x,y,z) неперервна і має неперервні частинні похідні в області D.

 

Тоді, повний приріст функції:

,

 де прямують до нуля при умові 0 .

Ділимо на :

 

 

Тоді:

                     

 

Таким чином:

 

 

            Границя відношення  при 0 називається похідною від функції u(x,y,z) в точці М(x,y,z) за напрямом вектора  і позначають :

.

 

            Тоді:

 

       У кожній точці  області D, де задана функція u = u (x,y,z), визначимо вектор, проекціями якого на вісі координат є значення частинних похідних цієї функції у відповідній точці:

 

       Цей вектор називається градієнтом функції u (x,y,z). Говорять, що в області D визначено векторне поле градієнтів.

       Якщо  , то:

 

       З цього зв’язку між похідною за напрямом і градієнтом функції u (x,y,z) випливає:

- градієнт функції направлений в сторону максимального зростання значень функції;

- якщо одиничний вектор  і вектор утворюють прямий кут, то ;

- вектор має напрям нормалі в точці М поверхні функції u (x,y,z).

28.2.Скалярні та векторні поля.

 

Якщо в кожній точці М (x,y,z) тримірного простору V визначена скалярна величина u(x,y,z), то говорять, що у просторі задано скалярне поле u=u(M), тобто будь-яка числова функція u(M)=f(x,y,z) у просторі V визначає скалярне поле.

Графічно скалярне поле можна показати за допомогою поверхонь рівня f(x,y,z)=С у просторі або за допомогою ліній рівня f(x,y)=С на площині Оху.

Для будь-якої функції u=f(x,y,z), яка диференційована в точці M0(x0,y0,z0), число  визначає швидкість зміни скалярного поля за напрямком  .

            Якщо у кожній точці М (x,y,z) тривимірного простору V визначено вектор , де — скалярні функції, то говорять, що в цьому просторі задано векторне поле . Якщо функції  неперервні, то і поле буде неперервним.

            Приклади векторних полів — поле швидкостей рідини, яка протікає, поле швидкостей твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю  навколо даної вісі тощо.

            Векторна (силова)  лінія векторного поля – це лінія, в кожній точці М якої вектор векторного поля направлений по дотичній.

            Прикладами векторних ліній можуть бути силові лінії магнітного поля, траєкторії точок, що обертаються у просторі тощо.

            Область простору, яка суцільно складається з векторних ліній, називається векторною трубкою. В кожній точці М поверхні векторної трубки вектор належить до дотичної площині, яка проведена в точці М  до цієї трубки.

            Векторне або скалярне поле, координати якого не залежать від часу, називається стаціонарним.

 

 

Поверхневі інтеграли та їх обчислення.

 

 

28.3. Поверхневий інтеграл І роду та його обчислення.

 

 

Нехай f(x,y,z) – неперервна функція в точках гладкої поверхні S тривимірного простору. Поверхня вважається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. За допомогою кусково-гладких ліній поділимо поверхню S на п елементарних площин Si , площі яких позначимо через  Si ( i = 1…п ), а діаметри – Ø Si. На кожній площині Si довільно виберемо точку Мi(хi, уi, zi) і обчислимо f(хi, уi, zi) та складемо суму:

 

Якщо існує границя вищезазначеної суми, яка не залежить від способу ділення поверхні на частини і вибору точки Мi(хi, уi, zi), то її називають поверхневим інтегралом І роду від функції f(x,y,z) по поверхні S. Тобто:

, де – max Si .

 

Поверхневий інтеграл І роду має такі властивості:

1. 

2.

3. Інтеграл дорівнює площі поверхні.

Інтеграл  – маса поверхні  S , при умові, що функція – функція густини по поверхні S .

Якщо область D – проекція поверхні  S на площину Оху і поверхня задана рівнянням z = F(x,y), то має місце формула:

 

Приклад. Обчислити , де S – частина поверхні конуса , яка знаходиться між площинами z=0 і z=2.

З рівняння поверхні випливає, що проекція поверхні на площину Оху – круг . Тоді:

                     

 

 

1. Поверхневий інтеграл ІІ роду та його обчислення.

 

 

Сторона гладкої поверхні S , з кожної точки якої встановлено нормальний вектор  нормалі, вважається додатною, а друга її сторона (якщо вона існує) – від’ємною.

Якщо, в частинному випадку, поверхня S замкнута і обмежує певну область V простору, то додатною або зовнішньою стороною поверхні називається та її сторона, нормальні вектори якої направлені від області V, а від’ємною або внутрішньою – сторона, нормальні вектори якої направлені в область V.

Поверхня, у якої існує додатна (зовнішня) і від’ємна (внутрішня) сторони, називається двостороньою. Двохсторонні поверхні мають властивість: якщо основа вектора нормалі  неперервно рухається по довільному замкненому контуру l, що знаходиться на поверхні, і повертається в точку, з якої почався рух, то напрям вектора  співпадає з початковим.

 

 

Приклади двосторонніх поверхонь – площини, всі поверхні другого порядку, тор тощо.

Для односторонніх поверхонь вищезазначений рух нормалі  приводить до ”антинормалі”, тобто до вектора – . Класичний приклад такої поверхні – стрічка (лист)  Мьобіуса.

Поверхня S з вибраною стороною називається орієнтованою.

Якщо поверхня S  задана рівнянням z=f(x,y), то нормальний вектор , який утворює з віссю Oz гострий кут , можна задати таким чином , а координати одиничного направляючого вектора нормалі  дорівнюють направляючим косинусам: або  , де .

У випадку, коли поверхня S задана рівнянням F(x,y,z)=0, то , знак ”+” беруть у випадку коли кут  є гострим і ”– ” – коли кут  є тупим.

Нехай в області V тривимірного простору визначена векторна функція

 , яка неперервна в заданій області V.  Нехай S – гладка поверхня, яка знаходиться в даній області V, з вибраною додатною стороною, тобто з вибраним напрямом вектора . Поділимо поверхню S  кусково-гладкими лініями на елементарні площини Si, площі яких позначимо через  Si ( i = 1…п ). На кожній площині Si довільно виберемо точку Мi(хi, уi, zi).

Якщо існує границя:

                             , де – max Si , то вона

називається поверхневим інтегралом ІІ роду від функції  по поверхні S.

Таким чином:

 

При зміні сторони поверхні знак інтеграла змінюється на протилежний.

Оскільки , то вищезазначений інтеграл можна записати у вигляді:

 

Якщо S – замкнута гладка поверхня у просторі V і , – неперервні функції та їх частинні похідні першого порядку в області V , то має місце формула Остроградського-Гауса:

 

або

 

,

 

де – направляючи косинуси зовнішньої нормалі до поверхні  S .

            Формула Остроградського-Гауса дозволяє спростити обчислення багатьох поверхневих інтегралів.

            Приклад. Обчислити:

            , де S – зовнішня сторона поверхні тіла, яке обмежено площинами х=0, у=0, z=0, x+2y+3z=6  .

 

 

Маємо:

, оскільки потрійний інтеграл

дорівнює об’єму тетраедра.

 

 

1. Потік векторного поля через поверхню. Дивергенція векторного поля.

 

 

Потоком векторного поля через поверхню S  за напрямом одиничного вектора нормалі

  поверхні S називається поверхневий інтеграл ІІ роду:

 

 

            Якщо вектор  визначає векторне поле швидкостей текучої нестисної рідини, то вищезазначений інтеграл дорівнює об’єму V рідини, що проходить через поверхню S  в напрямку нормалі за одиницю часу (в цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла ІІ роду):

.

 

            З формули випливає, що П – скаляр. У випадку, коли кут між вектором і гострий, то П > 0, а якщо тупий, то П < 0.

Теорему Остроградського-Гауса застосовують у випадку коли поверхня S є замкнутою:

          =

Нехай – поле швидкостей нестисної рідини. Якщо П > 0, то з формули випливає, що з області V витікає більше рідини ніж втікає. Це означає, що в області V існують джерела – точки, з яких рідина витікає. Якщо П < 0 , то з області V витікає менше рідини ніж втікає – в області V існують стоки – точки, через які рідина витікає.

У випадку, коли в області V задано функцію , де функції

мають частинні похідні в точці М(х,у,z) по х, у, z відповідно, то дивергенцією або розбіжністю векторного поля  в точці М(х,у,z) називається величина, що дорівнює сумі вищезазначених частинних похідних  обчислених в точці М:

 

 

            З фізичної точки зору характеризує густину джерел або стоків поля в точці М. Якщо > 0, то точка М – джерело, якщо < 0, то точка М – сток. У випадку = 0  зрозуміло, що в точці М відсутні джерела і стоки.

            З наведених формул випливає:

,

 

тобто потік П векторного поля через замкнуту поверхню S через зовнішню поверхню дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього поля по області V , яка обмежена поверхнею S.

            Приклад. Обчислити потік векторного поля  через верхню частину площини , що знаходиться в першому октанті.

            З рівняння площини знаходимо . Нормальний вектор цієї площини  , який утворює з віссю Oz гострий кут.

           

Приклад. Обчислити дивергенцію векторного поля

 в точці М0(1, -2, 3).

Маємо:          .

Для точки М0 отримаємо , тобто точка М0 є джерелом поля.