В первом примере нужно организовать второй замечательный предел, пользуясь свойствами логарифмов.
Второй пример сложнее, можно воспользоваться правилом Лопиталя, не вижу решения через эквивалентность.

Во 2-м пределе искусственно организуем ln(1+(cos2x-1)) и пользуемся соответствующей замечательной эквивалентностью:
http://mathprofi.ru/zamechatelnye_predely.pdf
(№6 на последней странице)