Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

3.6. Физический смысл криволинейных интегралов

Сначала совсем кратко, почти в качестве оффтопа

3.6.1. Смысл интеграла 1-го рода

Криволинейный интеграл первого рода по кусочно-гладкой дуге численно равен массе этой дуги: , где – функция её плотности, которая каждой точке дуги ставит в соответствие её значение плотности в этой точке.

Примера не будет ввиду крайней редкости этой задачи, поэтому сразу суть криволинейного интеграла 2-го рода и гвоздь программы:

3.6.2. Работа векторного поля

Пусть материальная точка под воздействием силы векторного поля совершает движение в плоскости и проходит путь . Тогда работа векторного поля по перемещению этой точки определяется формулой: . Данная величина стандартно измеряется в Джоулях, но в математических задачах размерность почти никогда не указывается, и я тоже буду придерживаться этого стиля.

Давайте разбираться. Приведу не совсем строгий, но зато вполне понятный пример: представьте, что у вас на столе лежит плоский и достаточно тонкий магнит. Из жизненного опыта все хорошо знают, что чем ближе поднести к нему какую-нибудь железку, тем сильнее она будет притягиваться. В физике это «сильнее» измеряется векторной величиной под названием напряжённость магнитного поля:
– каждой точке поверхности стола ставится в соответствие несвободный вектор , указывающий направление действия силы (магнитного поля) и её величину в данной точке (чем ближе к магниту, тем длиннее вектор). Множество этих векторов (рассматриваем только плоскость) образует двумерное векторное поле. Такое поле можно формализовать векторной функцией скалярного аргумента:

И в самом деле, если мы начнём подставляться координаты различных точек (скалярные аргументы), то «на выходе» будем получать различные векторы . Чтобы было понятнее, приведу конкретный пример: – найдём значение этой функции, например, в точке :
– в результате получен вектор, который, повторюсь, привязан к точке и свободному перемещению не подлежит!

Теперь недалеко от магнита бросим железную пылинку, которая под действием силы магнитного поля проделает путь (за некоторое время). Таким образом, данное векторное поле совершило работу по перемещению этой пылинки. А вы как думали? – работают даже магниты! Всегда вспоминайте об этом, когда устанете от какой-нибудь работы =)

И совсем понятный пример находится у многих под рукой, а именно компьютерная мышка – переместите её по произвольной траектории. Сила ваших мускулов совершила работу по перемещению мыши. Однако обывательское и физическое понимание работы отличаются, и к этому вопросу я вернусь буквально через несколько строк:

Пример 64

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина работу векторного поля по контуру, представляющему собой треугольник с вершинами в начале координат и точках , (контур интегрирования следует обходить против движения часовой стрелки).

Решаем самостоятельно! Краткое решение и ответ в конце книги. И не такое оно, между прочим, простое, как может показаться ;-)

Не удивляйтесь, если работа будет получаться отрицательной – знаки «плюс» и «минус» указывают направление действия силы. Так, если вы переместите мышь вправо, то, условно говоря, совершите работу . Теперь возвращаем её в исходную точку (не обязательно по той же траектории) и предполагаем, что усилий затрачено столько же. Тот факт, что сила ваших мускулов работала в противоположном направлении, и выражается знаком «минус»: .

Вы поработали? Безусловно. Хотя и не перетрудились =) Но с точки зрения физики никакой работы не совершено! И действительно, работа по замкнутому контуру составила . Вот так вот своими руками вы смоделировали особый вид поля! О котором далее:

Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то соответствующее векторное поле называют потенциальным. Проверим, будет ли оно таковым в Примере 64:

, следовательно, потенциальной функции не существует и поле не потенциально. Поэтому можно сразу сказать, что интеграл по замкнутому контуру

Кстати, такое задание иногда встречается: проверить будет ли данное поле потенциальным и если да, то найти его потенциал. Напоминаю, что для нахождения потенциальной функции нужно решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Ну а как решить эту задачу в пространственном случае, я рассказываю на сайте, а другой теме – теория поля. …Да, начинается полный хардкор :).

И в заключение курса мы как раз немного поговорим

3.7. О криволинейных интегралах в пространстве

3.5. Формула Грина – Остроградского

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин