Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

3.4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

Продолжаем решать криволинейные интегралы 2-го рода. Новизна будет состоять в особенности пути интегрирования, а именно в его замкнутости. Наверное, всем интуитивно понятно, что это значит – встаньте с места и прогуляйтесь, как вам захочется. После чего вернитесь в исходную точку. Это и есть замкнутый контур. В рамках данной книги я рассмотрю элементарные маршруты без самопересечений, такие как окружность, треугольник, квадрат и т.п.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру так и обозначают – с символической окружностью посередине:

Нередко на окружности рисуют стрелочку, указывая направление движения:
– против часовой стрелки;
– либо по часовой стрелке.

На практике чаще всего встречается первый вариант, который принято называть положительным направлением обхода контура. Впрочем, чтобы послать по контуру – стрелка не обязательна:)

Пример 62

Вычислить интеграл по контуру , ограниченному линиями . Интегрировать против часовой стрелки. Выполнить чертёж.

Решение: Слушаемся и повинуемся:)

! Напоминаю, что для криволинейного интеграла 2-го рода принципиально важнО направление интегрирования, и поэтому на чертеже крайне желательно проставлять стрелочки.

В силу свойства аддитивности, криволинейный интеграл по контуру можно представить в виде суммы трёх интегралов:

И теперь, вы, наверное, поняли, что нас ждёт дальше:

1) Вычислим интеграл по дуге параболы. Если , то:

В соответствии с направлением, изменяется от 0 до 2:

Желающие могут выполнить проверку: выразить нужный кусок параболы: , найти и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 4.

2) Вычислим интеграл по отрезку прямой . С дифференциалом тут всё просто: , а вот с пределами интегрирования не очень – интегрировать нужно строго по заданному направлению, то есть от 2 до 0 (см. чертёж выше):

3) И, наконец, интеграл по фрагменту оси ординат. Если , то, понятно, что , и «игрек» изменяется (внимание!) от 4 до 0:

Осталось просуммировать три куска и получить результат по всему контуру:

Ответ:

Если контур обойти по часовой стрелке, то получится противоположное значение:
.

Другой очевидный факт состоит в том, что если мы начнём свой путь из любой другой точки контура и совершим «оборот» (в том или ином направлении), то значение интеграла не изменится.

Что можно сказать по поводу выполненного задания?

Решение хорошее, решение логичное, однако у него есть существенный недостаток. Оно длинное.

…Но это не беда! Если нет беды с двойными интегралами :). Для простых контуров существует:

3.5. Формула Грина – Остроградского

3.3.2. Если линия задана параметрически

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин