Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

3.5. Формула Грина – Остроградского

Или, как её чаще называют – просто формула Грина, которую обычно записывают для положительного направления обхода контура:
, где – замкнутая область, ограниченная контуром .

Примечание: функции должны быть определены и непрерывны в области и, кроме того, иметь в ней непрерывные частные производные .
! Замечание: буквы – стандартны, не меняем их и не переставляем!

Решим наш интеграл по формуле Грина. Сначала найдём частные производные:

Для наглядности скопирую чертёж сверху:

Область ограничена контуром (синими линиями) и мы выбираем её привычный порядок обхода: . В результате чего получаем:

Как видите, решение сильно сократилось, а иногда оно сокращается просто фантастически! Чему посвящён следующий пример:

Пример 63

Вычислить криволинейный интеграл по окружности : а) непосредственно, б) по формуле Грина.

Решение: естественно, здесь не нужно мучиться с полуокружностями и их уравнениями (хотя можно) – гораздо проще представить уравнение окружности в параметрической форме, которая уже неоднократно встречалась ранее:

В условии ничего не сказано о направлении обхода контура, но пункт «бэ» толсто намекает, что лучше двигаться против часовой стрелки. К тому же, традиционное возрастание параметра как раз и обеспечивает «виток» именно в этом направлении:

Чертёж, к слову, был вовсе не обязателен, и ввиду простоты контура можно было обойтись и без него. Однако не в этот раз – пожалуйста, ХОРОШО запечатлейте эту картинку в своём сознании!

а) Вычислим криволинейный интеграл непосредственно. Алгоритм решения обычный – «начинку» интеграла нужно «заправить» буквой «тэ». Найдём дифференциалы:

и подставим в подынтегральное выражение. Чтобы не запутаться рекомендую оформлять преобразования «столбиком»:

, на последнем шаге использованы формулы двойного угла, надеюсь, вы их не забудете в любом состоянии =)

Таким образом, криволинейный интеграл:

б) Вычислим интеграл по формуле Грина:
, где – замкнутая область, ограниченная контуром . В данном случае это круг радиуса 2. Но возиться с полуокружностями не придётся и здесь! – поскольку:

и сбылась мечта тунеядца:)

Ответ:

И это не только приятный, но ещё и крайне интересный случай. Если криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то речь заходит об очень крутом свойстве! Даже о нескольких крутых свойствах. Должен предупредить, что сейчас я буду вольно пересказывать теоремы математического анализа, и если вы учитесь основательно, то обязательно загляните в 3-й том Фихтенгольца (например).

Рассмотрим две произвольные точки области (круга). Очевидно, что их можно соединить бесчисленным количеством кусочно-гладких маршрутов, не выходящих за пределы области. Так вот – какой бы из этих путей мы ни выбрали, то во всех случаях криволинейный интеграл будет равняться одному и тому же значению!

Но это только «вершки». Поскольку функции определены и непрерывны во всех точках плоскости , то то же самое справедливо и для любых двух точек плоскости! То есть, мы можем зафиксировать вообще любые две точки (какие понравятся) и составить бесконечно много кусочно-гладких маршрутов между ними. И криволинейные интегралы по всем этим маршрутам будут равны одному и тому же числу! В таких случаях говорят, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точки.

Более того, если мы возьмём произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур в плоскости , то интеграл по любому такому контуру будет равен нулю:

Вернёмся к только что разобранному примеру и рассмотрим произвольную пару точек, лежащую внутри круга – проще всего взять точки . Теперь вычислим криволинейный интеграл двумя способами:

1) По отрезку прямой . Тут всё элементарно: и:

2) По дуге параболы . В этом случае и:

Самостоятельно вычислите этот же интеграл по дуге кубической параболы . Получится единица. Или по какой-нибудь простенькой ломаной, например, по ломаной , где . Тоже получится единица! Возьмите точку вне круга и снова получИте свою законную единицу! И вообще – если выбрать любой кусочно-гладкий путь от точки до точки , то криволинейный интеграл во всех случаях будет равняться единице! Сколь бы долгим и запутанным ни был маршрут в плоскости , сколько бы он не самопересекался (да, даже так).

Иными словами, значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования. И, как я уже отметил выше, в нашем примере можно взять вообще две любые точки плоскости , и криволинейный интеграл не будет зависеть от пути интегрирования. Напоминаю, что всё это последовало из того, что мы получили ноль хоть по какому-то замкнутому контуру (по окружности в нашем примере), а также из того факта, что функции непрерывны всюду.

Но открытия только начинаются!

Если , то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных . Данная функция называется потенциальной или просто потенциалом. Как её найти? Очень просто. Нужно решить – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Для «начинки» нашего нулевого интеграла таковой функцией является:

И в самом деле, её полный дифференциал:
– в точности подынтегральное выражение.
Ну и, наверное, вы поняли, что равенство , которое обеспечивает ноль в формуле Грина, есть не что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка.

Более того, для любых двух точек и области (и вообще всей плоскости ) криволинейный интеграл – равен постоянной величине, которая не зависит от пути интегрирования.

Так, в нашем примере с точками было совсем не обязательно перебирать множество маршрутов – достаточно найти потенциальную функцию (решив ДУ в полных дифференциалах) и вычислить криволинейный интеграл по формуле:

Разность называют разностью потенциалов, и я так вижу, у физиков уже появился здоровый блеск в глазах ^ : ^ Поэтому не буду томить вас ожиданием и быстро перейду к следующему параграфу:

3.6. Физический смысл криволинейных интегралов

3.4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин