3.3. Криволинейные интегралы второго рода

В этом курсе я почти не освещал теорию, но тут немножко надо, постарайтесь понять хотя бы примерно :).

«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле мы имели дело с бесконечно малыми кусочками самой линии , то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям этих кусочков на ось абсцисс:
либо по их проекциям на ось ординат: . Следует заметить, что это два разных интеграла.

Но в большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций:

С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что: криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, при этом:
, где и – концы линии .

С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов (намного реже – какого-то одного), и алгоритм его решения гораздо бесхитростнее, нежели «разборки» со «старшим братом»:

Пример 56

Вычислить криволинейный интеграл , где – отрезок прямой от точки до точки . Выполнить чертёж.

Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам:

Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж:

Обязательно указываем направление интегрирования! – здесь оно имеет принципиальное значение.

Также всегда обращайте внимание на следующую вещь: каждая точка линии должна входить в области определения подынтегральных функций и . В нашей задаче , и, очевидно, что . Поэтому линия интегрирования не должна пересекать координатные оси! (которые задаются уравнениями )

Иногда авторы задачников и методичек недоглядывают за этим моментом, в результате чего получается невразумительное решение, где ответ, например, может оказаться бесконечным.

3.3.1. Как вычислить криволинейный интеграл 2-го рода?

3.2. Важные свойства криволинейных интегралов

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин