3.7. О криволинейных интегралах в пространстве

А почему нет? Никто же не запрещает интегрировать по пространственным кривым. Все только разрешают =)

На самом деле я мог бы начать и с них, но, во-первых, такие задачи значительно реже встречаются на практике, и, во-вторых, возникла бы неслабая путаница.

Пространственная кривая, как правило, задаётся параметрическими уравнениями , и по большому счёту новизна состоит в дополнительной координате.

Так, например, криволинейный интеграл 1-го рода, рассчитывается по формуле:
, и его физический смысл – это масса пространственной линии , где – функция её плотности.

Криволинейный интеграл 2-го рода запишется в виде:
, и, наверное, вы уже догадываетесь, как его решать.

Осталось подтвердить свою догадку решением заключительного примера, решаем торжественно, решаем с энтузиазмом, решаем самостоятельно:

Пример 65

Вычислить криволинейный интеграл , где – первый виток винтовой линии .

Решение и ответ задачи в полной версии книги.

Аналогично – предложенный криволинейный интеграл можно интерпретировать, как работу трёхмерного векторного поля по перемещению материальной частицы вдоль пространственной кривой .

Следует добавить, что работа – есть «главный» физический смысл криволинейного интеграла второго рода, но далеко не единственный. Криволинейные интегралы нашли широкое применение в физике, с помощью них можно подсчитать много других величин.

И, к слову, термин «поле» – он не физический, а относится именно к математике! Силовые же физические поля – лишь частные примеры.

И я вас поздравляю!
Это было непросто, но интересно. ...Наверное :)

С дополнительной, в том числе теоретической информацией можно ознакомиться в соответствующем разделе портала mathprofi.ru, а также в учебной литературе, в частности, рекомендую: К.А. Бохан 2-й том, Г.М. Фихтенгольц, 3-й том

Для тех, кто заинтересовался – есть продолжение, а именно, поверхностные интегралы. Сложновато, но подъёмно! ;) Также логическим продолжением темы является теория поля.

Желаю успехов!

3.6. Физический смысл криволинейных интегралов

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин