Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

3.1.1. Как вычислить криволинейный интеграл первого рода?

Пусть точки являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной (в плоскости ). Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к определённому интегралу по следующей формуле:

Формулу можно расписать подробно, без модуля при «дэ икс»:
, если (стандартный случай) или
, если .
В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . …Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)

Пример 53

Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: . И вы можете даже не знать, как выглядит эта кривая. Здесь важно, что интегрирование проводится от точки до точки , а посему . Таким образом, у нас наиболее распространённый случай , следовательно, нужно использовать формулу:
.
Сначала удобно найти производную: и сразу же упростить корень: .

Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ:

Если вычислить тот же самый интеграл в противоположном направлении – от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае пределы интегрирования поменяются местами , и коль скоро , то мы пользуемся второй формулой: , в нашем случае:

По существу, тут работает свойство определённого интеграла.

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: .

В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой.

Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант ):
, где – обратная функция, выражающая линию .

С параболой никаких проблем ,
и производной – тем более:

При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.

И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр параллельно оси .

Этот цилиндр «высекает» из плоскости пространственную «ниточку» (выше плоскости ).
Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой». ...Вроде всё понятно….

Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов» :)

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 54

Вычислить интеграл по дуге окружности от точки до точки . Пояснить геометрический смысл полученного результата.

Краткое решение с комментариями в конце книги – тот, кто правильно во всём разобрался, может считать себя «самоваром» интегралов =)

Но этим практика не исчерпывается, ситуации бывают разные:

3.1.2. Если линия задана параметрически

3.1. Криволинейные интегралы первого рода

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин