3.1.1. Как вычислить криволинейный интеграл первого рода?
Пусть точки являются концами
линии , а сама она задана
функцией одной переменной (в плоскости ). Тогда криволинейный
интеграл первого рода можно свести к определённому интегралу по следующей
формуле:

Формулу можно расписать подробно, без модуля при «дэ икс»:
, если (стандартный случай) или
, если .
В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . …Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже
решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)
Пример 53
Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением 
Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: . И вы можете даже не знать, как выглядит
эта кривая. Здесь важно, что интегрирование проводится от точки до точки , а посему . Таким образом, у нас наиболее распространённый случай , следовательно, нужно использовать формулу:
.
Сначала удобно найти производную: и сразу же упростить корень: .
Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».
Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак
дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ: 
Если вычислить тот же самый интеграл в противоположном направлении – от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае пределы интегрирования
поменяются местами , и коль скоро
, то мы пользуемся второй
формулой: , в нашем случае:

По существу, тут работает свойство определённого интеграла.
Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: .
В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом,
а какая – концом кривой.
Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже
«икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант
):
, где – обратная функция, выражающая линию .
С параболой никаких проблем ,
и производной – тем более: 
При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов»,
однако функция от них не
зависит, а значит, делать ничего не нужно.
И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический
цилиндр параллельно оси
.

Этот цилиндр «высекает» из плоскости пространственную «ниточку» (выше плоскости ).
Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между
куском параболы и этой «ниткой». ...Вроде всё понятно….
Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей
частью лежит ниже плоскости .
Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов» :)
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 54
Вычислить интеграл по дуге
окружности от точки до точки . Пояснить геометрический смысл полученного результата.
Краткое решение с комментариями в конце книги – тот, кто правильно во всём разобрался, может считать себя «самоваром»
интегралов =)
Но этим практика не исчерпывается, ситуации бывают разные:
3.1.2. Если линия задана параметрически
3.1. Криволинейные интегралы первого рода
| Оглавление |
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате, а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин |