Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

2.3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты – это, по сути, полярные координаты в пространстве. В цилиндрической системе координат положение произвольной точки пространства определяется полярными координатами и точки – проекции точки на плоскость и аппликатой самой точки .

Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:

Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом:

И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем сейчас:

Главное, не забывать про дополнительный множитель «эр» и правильно расставлять полярные пределы интегрирования при обходе проекции:

Пример 38

С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями . Выполнить чертёж данного тела и его проекции на плоскость .

Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой одноимённую окружность . Плоскости ограничивают искомое тело снизу и сверху и проецируются в круг :

На очереди трёхмерный чертёж. Основная трудность состоит в построении плоскости , которая пересекает цилиндр под «косым» углом, в результате чего получается эллипс. Уточним данное сечение аналитически: для этого перепишем уравнение плоскости в функциональном виде и вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках , которые лежат на границе проекции: . Отмечаем найденные точки на чертеже и аккуратно (а не так, как я =)) соединяем их линией:

Проекция тела на плоскость представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат по формулам .

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:

Теперь нужно выяснить порядок обхода тела. Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах. Здесь он элементарен:

«Вертикальные» пределы интегрирования тоже очевидны – входим в тело через плоскость и выходим из него через плоскость :

Перейдём к повторным интегралам:
, при этом множитель «эр» сразу ставим в «свой» интеграл. Веник как обычно ломаем по прутикам:

2) Сносим результат в следующий интеграл, не забывая, что там уже есть «эр»:

И ещё не забываем, что «фи» считается константой. Но это до поры до времени:
3)

Ответ:

Похожее задание для самостоятельного решения:

Пример 39

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями . Выполнить чертёж данного тела и его проекции на плоскость .

Примерный образец чистового оформления в конце книги.

Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет «бодаться» с трудными интегралами в декартовых координатах. …А может и не будет – ведь есть третий, исконно русский способ решения проблем =) …Но не после прочтения этой книги!

Пример 40

С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями

Скромно и со вкусом.

Решение: данное тело ограничено конической поверхностью и эллиптическим параболоидом . Подготовленный читатель уже представил, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение. Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим соответствующую систему:

Из 1-го уравнения почленно вычтем второе:

В результате получено два корня:

Подставим найденное значение в любое уравнение системы:
, откуда следует, что .

Таким образом, корню соответствует единственная точка – начало координат. Естественно – ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают.

Теперь подставим второй корень – тоже в любое уравнение системы:

Каков геометрический смысл полученного результата? «На высоте» (в плоскости ) параболоид и конус пересекаются по окружности – единичного радиуса с центром в точке . При этом «чаша» параболоида вмещает в себя «воронку» конуса, следовательно, образующие конической поверхности следует прочертить пунктиром (за исключением фрагмента дальней от нас образующей, который виден с данного ракурса):

Проекцией тела на плоскость является круг с центром в начале координат радиуса 1, который я даже не удосужился изобразить ввиду очевидности данного факта. Кстати, и в двух предыдущих задачах можно было обойтись без двухмерного чертежа, но там его требовало условие.

При переходе к цилиндрическим координатам по формулам неравенство запишется в простейшем виде и с порядком обхода проекции никаких проблем:

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат.

С параболоидом проблем нет вообще:

И с конусом их тоже нет. Так как в задаче рассматривается его верхняя часть, то из уравнения выражаем:

«Сканируем тело» вертикально, строго снизу вверх. Лучи света входят в него через эллиптический параболоид и выходят через коническую поверхность . Таким образом, «вертикальный» порядок обхода тела:

В результате:
Остальное – дело несложной техники:

Ответ:
Не редкость, когда тело задаётся не ограничивающими его поверхностями, а множеством неравенств:

Пример 41

С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела:
, где – произвольное положительное число.
Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ – в конце книги.

2.4. Как вычислить произвольный тройной интеграл?

2.2. Как вычислить объём тела с помощью тройного интеграла?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин