Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

2.2. Как вычислить объём тела с помощью тройного интеграла?

По формуле , где  – искомое тело.

Пример 32

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Пожалуйста, перепишите на бумагу следующий список:

и ответьте на вопросы: знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве?

Если Вы склоняетесь к общему ответу «скорее нет, чем да», то обязательно проработайте материалы по геометрии, которые я рекомендовал на предыдущей странице. Без этого дальше никуда.

Решение: используем формулу .

Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертежи.

По условию, тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:

Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Это тень тела, когда солнышко светит на него прямо сверху :).

Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет». В нашей задаче их три:

– уравнение  задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение  задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение  задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Исходя из вышесказанного, искомая проекция, скорее всего, представляет собой следующий треугольник:

Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. Представьте, что из экрана монитора выходит ось  и утыкается прямо в вашу переносицу (т.е. получается, что Вы смотрите на 3-мерный чертёж сверху). Исследуемое пространственное тело находится в бесконечном трёхгранном «коридоре», и его проекция на плоскость , вероятнее всего, представляет собой заштрихованный треугольник.

Обращаю особое внимание, что пока мы высказали лишь предположение о проекции и оговорки «скорее всего», «вероятнее всего» были не случайны. Дело в том, что проанализированы ещё не все поверхности и может статься так, что какая-нибудь из них «оттяпает» часть треугольника. В качестве наглядного примера напрашивается сфера с центром в начале координат радиусом мЕньшим единицы, например, сфера   – её проекция на плоскость  (круг ) не полностью «накроет» заштрихованную область, и итоговая проекция тела будет вовсе не треугольником (круг «срежет» ему острые углы).

На втором этапе выясним, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполним пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение  задаёт саму координатную плоскость , а уравнение   – параболический цилиндр, который расположен над плоскостью  и проходит через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.

Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра и искомое тело:

После выполнения чертежей с порядком обхода тела никаких проблем!

Сначала определим порядок обхода проекции (при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ использовать двумерный чертеж – см. выше). Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ, как и в двойных интегралах! Вспоминаем лазерную указку и «сканирование» плоской области.

Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:  

Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость  и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:

Перейдём к повторным интегралам:

С интегралами вновь (ещё раз вновь) рекомендую разбираться по отдельности:

1) Начать следует с самого нутра – «зетового» интеграла:

Подставим результат в «игрековый» интеграл:

Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно – к формуле  объёма цилиндрического бруса! Дальнейшее хорошо знакомо:

2)

3) Последний интеграл удобно взять методом подведения под знак дифференциала – ещё раз заостряю внимание на этом выгодном способе решения:

Ответ:

Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:

Но с этим способом будьте осторожнее – выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку.

Ответим на важный технический вопрос:

Нужно ли делать чертежи, если условие задачи не требует их выполнения?

Можно пойти четырьмя путями:

1) Изобразить проекцию и само тело. Это самый выигрышный вариант – если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа. Рекомендую в первую очередь.

2) Изобразить только тело. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус – по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки.

3) Изобразить только проекцию. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область сверху и снизу.
К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным – когда тело слишком великО либо его построение сопряжено с иными трудностями. И такие примеры мы тоже рассмотрим.

4) Обойтись вообще без чертежей. В этом случае нужно представлять тело мысленно и закомментировать его форму / расположение письменно. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Но всё же лучше сделать хотя бы схематический рисунок,  поскольку «голое» решение могут и забраковать.

Следующее тело для  самостоятельного дела:

Пример 33

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

В данном случае область интегрирования задана преимущественно неравенствами, и это даже лучше – множество неравенств  задаёт 1-й октант, включая координатные плоскости, а неравенство  задаёт полупространство, содержащее начало координат (проверьте) + саму плоскость . «Вертикальная» плоскость  рассекает параболоид по параболе и на чертеже желательно построить данное сечение. Для этого нужно найти дополнительную опорную точку, лучше всего – вершину параболы (рассматриваем значения  и рассчитываем соответствующее «зет»).

…Тёмный лес? Вам сюда + сюда либо сюда – поднимаем геометрию!

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 34

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж.

Решение: формулировка «выполнить чертёж» даёт нам некоторую свободу, но, скорее всего, подразумевает выполнение пространственного чертежа. Однако и проекция тоже не помешает, тем более, она здесь не самая простая.

Придерживаемся отработанной ранее тактики, сначала разберёмся с поверхностями, параллельными оси аппликат. Уравнения таких поверхностей не содержат в явном виде переменную «зет»:
– уравнение  задаёт координатную плоскость , проходящую через ось  (ось абсцисс на плоскости  определяется «одноимённым» уравнением );
– уравнение  задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Но две прямые  не задают ограниченную проекцию, и, очевидно, параболический цилиндр  своими линиями пересечения с координатной плоскостью  замыкает плоскую фигуру. Чтобы выяснить их уравнения нужно решить простейшую систему:
Подставим  в первое уравнение:  – получены две прямые, лежащие в плоскости  и параллельные оси .

Определим порядок обхода тела, при этом «иксовые» и «игрековые» пределы интегрирования удобнее выяснять по двумерному чертежу:
 – луч лазера просвечивает тело строго снизу вверх!
 – смотрим на проекцию тела.

Таким образом:
 

1)

2) Напоминаю, что при интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу  удобно сразу вынести за знак интеграла.

3) И заключительный, внимательный аккорд:

Ответ:

Да, чуть не забыл, в большинстве случаев полученный результат малополезно (и даже вредно) сверять с трёхмерным чертежом, поскольку с большой вероятностью возникнет иллюзия объёма, о которой я рассказал в одной из статей сайта. Суть иллюзии состоит в том, что люди склонны неверно оценивать объём «на глазок», мы его либо занижаем, либо завышаем.

Так, человек за среднестатистическую жизнь суммарно выпивает жидкости объёмом со стандартную комнату 18 кв. м., что кажется очень малым объёмом. В нашей задаче наоборот – если вы посмотрите на пространственный чертёж, то вам покажется, что тело содержит больше четырёх «кубиков».

И после познавательного отступления задание для самостоятельного решения:

Пример 35

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Обратите внимание, что условие этой задачи безвариантно требует выполнения обоих чертежей.  Примерный образец оформления в конце книги.

Не редкость, когда выполнение трёхмерного чертежа затруднено, и этой ситуации посвящены ближайшие примеры:

Пример 36

С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями

Решение: проекция здесь несложная, но вот над порядком её обхода нужно подумать. Если выбрать 1-й способ, то фигуру придётся разделить на 2 части, что неиллюзорно грозит вычислением суммы двух тройных интегралов. В этой связи гораздо перспективнее выглядит 2-й путь. Выразим , изобразим проекцию на чертеже:

и выберем более выгодный порядок обхода фигуры:

Теперь дело за телом. Снизу оно ограничено плоскостью , сверху – плоскостью , которая проходит через ось . И всё бы было ничего, но последняя плоскость слишком крутА и построить тело не так-то просто. Выбор тут незавиден: либо ювелирная работа в мелком масштабе (т.к. тело достаточно тонкое), либо чертёж высотой порядка 20 сантиметров (да и то, если вместится на тетрадный лист). 

Но есть и третий, исконно русский метод решения проблемы – забить =). И вместо трёхмерного чертежа обойтись словесным описанием: «Данное тело ограничено цилиндрами  и плоскостью  сбоку, плоскостью  – снизу и плоскостью  – сверху».

«Вертикальные» пределы интегрирования, очевидно, таковы:

Вычислим объём тела, не забывая, что проекцию мы обошли менее распространённым способом:

1)

2)

3)

Ответ:

Как вы заметили, предлагаемые в задачах телА часто ограничены плоскостью  снизу. Но это не есть какое-то правило, поэтому всегда нужно быть начеку – может попасться задание, где тело расположено и под плоскостью . Так, например, если в рассмотренной задаче вместо  рассмотреть плоскость , то исследованное тело отобразится симметрично в нижнее полупространство и будет ограничено плоскостью  снизу, а плоскостью  – уже сверху!

Легко убедиться, что получится тот же самый результат:

(помним, что тело нужно обходить строго снизу вверх!)

Кроме того, «любимая» плоскость может оказаться вообще не при делах, простейший пример: шар, расположенный выше плоскости  – при вычислении его объёма уравнение  не понадобится вообще.

Все эти случаи мы рассмотрим, а пока аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 37

С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями:

Сверяемся с решением в конце книги и переходим к параграфу с не менее популярными материалами:

2.3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

2.1. Понятие тройного инетграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru / com, 2010-2025, Высшая математика – просто и доступно!