1.2. Область интегрирования и порядок её обхода

В этом параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:
И так:
На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Исправим ситуацию:

Пример 1

Дан двойной интеграл с областью . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: изобразим область интегрирования на чертеже, фигура простейшая:

Теперь я выдам вам орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы «просканировать» лучом лазера каждую точку заштрихованной области:

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением и выходит из области через параболу (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси от 0 до 1 (зелёная стрелка). Итак, «игрек» изменяется от 0 до , а «икс» при этом изменяется от 0 до 1. В задачах сей факт записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования. После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

1.1.3. Алгоритм решения двойного интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин