Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

2.5. Тройной интеграл в сферических координатах

До сих пор мы использовали цилиндрическую систему координат, которая, по технической сути, представляет собой «плоскую» полярную систему + дополнительную координату «зет». Но есть задачи, где невероятно удобны сферические координаты.

В данной системе координат точка пространства определяется её расстоянием («ро») от начала координат и двумя углами:
Угол («тета») называется зенитным и отсчитывается от положительной полуоси . Данный угол изменяется в пределах и крайнему значению соответствуют точки, лежащие на нижней полуоси .
Угол называется азимутальным и отсчитывается в плоскости против часовой стрелки. Он изменяется в пределах , иными словами, «ведёт» себя точно так же, как полярный угол.
Таким образом, с помощью трёх координат «ро», «тета» и «фи» можно однозначно определить любую точку пространства.

Где используется сферическая система координат? Ну, конечно, в астрономии. Однако своё скромное применения она нашла и при вычислении тройных интегралов:

Пример 48

Вычислить интеграл по шару .

Решение: тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа. Однако я всё же втайне мечтаю, что потомки оценят художественную ценность моих сканов:)
Тройной интеграл вычислим с помощью сферической системы координат. Формулы перехода к ней таковы:

При этом произведение трёх дифференциалов превращается в следующую вещь:
, где «добавка» – это «плата» за переход.

Определим порядок обхода тела. Для этого нужно найти уравнение сферы в сферических координатах. По формулам перехода:

, откуда следует элементарное уравнение

Теперь смотрИте на чертёж выше и представляйте это в динамике:

– луч радара исходит из начала координат и выходит из тела через сферу :
, при этом зенитный угол проходит все свои значения: и получившийся полукруг с диаметром на оси совершает полный оборот вокруг этой оси:

В результате мы учли все точки шара, т.е. полностью обошли тело интегрирования.

Преобразуем подынтегральную функцию и осуществим переход к сферической системе:

Остальное дело техники:
1)
2)
3)

Ответ:

Этот тройной интеграл можно было взять и через цилиндрические координаты, но вычисления получились бы заметно труднее.

Когда целесообразно использовать сферическую систему координат?

Прежде всего, когда нет проблем с определением зенитного угла. Как правило, это шар и его части, шар, вложенный в другой шар и т.п. конструкции. Кстати, шаровой сектор из Примера 46 – там этот угол прям конфетка, и я предлагаю вам самостоятельно решить данный интеграл вторым способом:

Пример 49

Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями , с помощью сферической системы координат.

Ответы, разумеется, должны совпасть.

Следует однако заметить, что само по себе использование сферических координат ещё не означает, что решение получится проще.

Но самое интересное только начинается:

2.6. Физические приложения тройного интеграла

2.4. Как вычислить произвольный тройной интеграл?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин