Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

1.5. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную систему координат». После чего для решения предлагается… обычный двойной интеграл в декартовых координатах по области .
Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция двух переменных и двойной интеграл численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:

Пример 23

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат

На первом этапе решения ничего нового. Выполняем чертёж области в прямоугольной системе координат. Линейное неравенство определяет правую полуплоскость, включая ось , а уравнение , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую – выделим полный квадрат:

– окружность единичного радиуса с центром в точке .
Таким образом, нам нужно вычислить площадь половинки круга:

Не упустим возможность сразу узнать ответ. По школьной формуле площади круга, должно получиться:

Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами. При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов ВСЕГДА превращается в следующую вещь:

То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на появившийся множитель , образно говоря, это «плата за переход», любители вышмата могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этот множитель «эр» терять нельзя.

Таким образом:
Но это ещё не всё – ведь границы области тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:

, основное тригонометрическое тождество:
и сокращаем на «эр»:

– что и говорить, гораздо более приятное уравнение окружности.

Сведём двойной интеграл к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. Недавно мы орудовали лазерной указкой, а сейчас будет удачна другая ассоциация – просвечивание области радаром. Представьте, что из полюса исходит красный луч света и вращается против часовой стрелки:
Когда луч радара поворачивается от полярной оси до угла (зелёная стрелка), то он входит в область непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность (красная стрелка). Таким образом, на промежутке полярный радиус изменяется в пределах , и область интегрирования полностью «просканирована».
В результате: – множитель , разумеется, уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».

И здесь я вновь рекомендую оформлять решение в два пункта:

1) Сначала возьмём внутренний интеграл:

2) Подставляем трофей во внешний интеграл и используем популярную формулу понижения степени :
что и требовалось получить (вспоминаем вычисления по школьной формуле).

Ответ:

В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и «одной строкой»:

К слову, совсем забыл привести такое решение для случая декартовых координат, решим «быстрым» способом, скажем, простенький Пример 13:

Но злоупотреблять короткой дорожкой не советую – повышается риск запутаться.

В разобранной задаче жёстко требовалось использовать полярную систему координат, и это очень хорошо! Я не иронизирую. Как ни странно, более свободная формулировка условия может здОрово осложнить жизнь. Отрубим ящерице хвост:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла»

Дело в том, что площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим, и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам, то будет загружен трудной работой. А по условию, никто ведь не запрещает решать через декартовы координаты ;)

Давайте ещё укоротим условие:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями »

Здесь появилась новая степень свободы, и площадь фигуры помимо прочих способов можно рассчитать с помощью однократного интеграла (решение будет почти совпадать с решением через двойной интеграл). Впрочем, рецензент может не оценить такую вольность :). Чуть позже я коснусь ещё одной важной разновидности условия, а пока рассмотрим более содержательный пример:

Пример 24

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го порядка. Выделяем полные квадраты:

– окружность единичного радиуса с центром в точке .

– окружность с центром в точке радиуса 2.

Таким образом:

В условии задачи ничего не сказано о полярной системе координат, и поэтому площадь фигуры можно рассчитать «обычным» двойным интегралом в декартовых координатах. Но что-то не хочется :).

Итак, площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:

По формулам перехода найдём полярные уравнения окружностей:

Теперь выясним порядок обхода области. Луч радара (см. рис. выше) входит в область через окружность и выходит из неё через окружность (красная стрелка), при этом он осуществляет поворот от полярной оси до угла (зелёная стрелка).

Напомню также, что «альфа» и «бета» – это не просто формальные значения углов: полярное уравнение непосредственно задаёт полярную ось (положительное направление оси абсцисс), а уравнение – луч, исходящий из полюса и совпадающий с верхней частью прямой . В нашей задаче дана «хорошая» прямая и значение угла понятно «с ходу». Но как найти угол в общем случае? Вспоминаем, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой к положительному направлению оси абсцисс: . В данном случае , откуда следует, что .

И после такой шикарной справки возвращаемся к решению. По результатам «сканирования» области мы выяснили, что на промежутке полярный радиус изменяется в пределах .

Перейдём к повторным интегралам:

Остальное – дело техники:

1) Раскрутим внутренний интеграл:

2) И внешний, с помощью формулы :

Ответ:

Прикинув по чертежу количество клеточек, приходим к выводу, что полученный результат вполне и вполне правдоподобен. Теперь ответим на следующий важный вопрос:

Каковы предпосылки для перехода к полярным координатам?

Основной предпосылкой является наличие окружности (ей). Подчёркиваю, что это лишь предпосылка, а не обязательное правило! То есть, область интегрирования может быть ограничена окружностью (ями), но переход к полярным координатам только усложнит решение, а то и вообще заведёт его в тупик. Поэтому другим важным условием является удачное «сканирование» области «радаром». Впрочем, в каждом случае нужно смотреть индивидуально.

Следующие два примера для самостоятельного решения:

Пример 25

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример 26

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

И в Примере 26 мы встретили ещё одну распространённую формулировку условия, в которой предложено непосредственно вычислить двойной интеграл. Да, он численно равен площади области , но, коль скоро, о площади изначально молчок, то и в решении об этом не нужно упоминать ;-) Подумайте, как грамотно записать ответ задания.
Примерные образцы решений и чертежи в конце книги. Я их оформил в разном стиле, выбирайте, что больше нравится.

Разумеется, в двойном интеграле может оказаться и «настоящая» функция с «живым» «иксом» и / или «игреком»:

Пример 27

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Решение: область интегрирования здесь очень простая – это часть кольца между концентрическими окружностями , которая располагается в 4-й координатной четверти (о чём нам сообщают неравенства ). И коль скоро так всё просто, можно сразу заняться переходом к полярной системе координат по формулам .

Найдём уравнения окружностей в полярных координатах:

ну, прямо чудо получилось – всегда бы такие уравнения J

Выполним чертёж:

Порядок обхода области предельно понятен:

Можно было взять промежуток , но работать с табличным значением гораздо привычнее.

Отличие от предыдущих примеров состоит в дополнительном шаге – преобразовании подынтегральной функции . Используем те же стандартные формулы перехода . Если совсем просто, то в функцию двух переменных вместо «икс» подставляем и вместо «игрек» :

После подстановки полученное выражение максимально упрощают, но здесь этого особо не потребовалось.

Таким образом:

Фишка последнего шага должна быть вам хорошо знакома: когда проводится интегрирование по переменной «эр», то переменная «фи» считается константой (и наоборот). Поэтому константу целесообразно сразу вынести из внутреннего интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

1) Вычислим незамысловатый внутренний интеграл:

2) И внешний, сразу вынося полученную выше константу за пределы интеграла:

Ответ:

Повторим геометрический смысл полученного результата. Так как и , то поверхность расположена над плоскостью (в 4-й координатной четверти). Полученный в задаче результат – это в точности объём цилиндрического бруса, который ограничен (представляем мысленно) плоскостью снизу, поверхностью – сверху и множеством перпендикулярных лучей, исходящих из границы области – сбоку. С задачей нахождения объёма тела мы вплотную столкнёмся при изучении тройных интегралов.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 28

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Примерный образец чистового оформления задания в конце книги.

В соответствующей статье сайта я также разбираю более редкие интегралы, где можно обойтись даже без чертежа, но это уже углублённый курс. Напомню заодно, что если условие задачи того не требует – то чертёж можно и не выполнять. Правда, область интегрирования всё равно придётся представить мысленно. Но даже если у вас есть такие способности, то демонстрировать их совсем не обязательно, ибо что тяжелА жизнь вундеркинда ;) Исключение составляют какие-то совсем простые области .

1.6. Центр тяжести плоской фигуры

1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин