В качестве уплаты за знание о гамма и бета функциях опубликую свой текст, написанный для участия в отборе на майскую математическую смену в Сириусе, задание "Игра в Бога".

 

В чем люди видят красоту в математике? В идеальных конструкциях, паттернах, которые возникают в, казалось бы, совсем не связанных областях, в том, как различные сюжеты укладываются в общие схемы, и, конечно же, в элегантности доказательств математических теорем. Венгерский математик Пал Эрдёш называл «Книгой» место, в котором Бог хранит самые элегантные доказательства математических теорем. Во время одной из своих лекций в 1919851985 году он сказал: «В Бога можешь ты не верить, но верить в Книгу ты обязан!».

 

Расскажите нам о вашем самом любимом доказательстве математической теоремы, которое достойно того, чтобы быть размещенным в Книге, и почему вы так считаете?

 

Интересно доказательство того, почему правильных многогранников (платоновых тел) ровно пять. На первый взгляд это просто факт, данность от природы, но дело обстоит совсем не так. Кажется, Эйлер, когда объяснял, почему сферу невозможно продеформировать в тор, сказал, что в математике нет ничего очевидного - или аксиома, или доказывайте, и в этом я с ним согласна.

 

На мой взгляд, наилучшим изложением этого доказательства является лекция А.В. Савватеева "Топология для самых маленьких", которая, в свою очередь, основывается на статье Германа Вейля "Симметрия". Мне особенно нравится, что здесь сочетаются разные области математики, при том что сама постановка задачи является геометрической.

 

В моем кратком пересказе это доказательство выглядит так:

 

Для начала зададимся вопросом: что такой правильный многогранник? Топологически можно дать такое определение: многогранник, у которого любую пару "вершина-ребро" можно перевести в любую другую пару определенным движением (вращением)

 

Вращение предполагает ось. Можно заметить, что будет три класса неподвижных точек: центры противоположных ребер, центры противоположных граней, противоположные вершины

 

Все точки можно разбить на классы, где внутри одного класса все точки можно перевести друг в друга определенным движением

 

Благодаря теории групп можно прийти к заключению, а) что все точки в одном классе имеют одинаковое количество возможных вращений б) что количество точек в классе C, умноженное на количество вращений у каждой точки, дает количество всех вращений

 

Пункты а) и б) можно записать уравнениями, и далее задача сводится к оценкам из геометрической логики и решению системы

 

В итоге пять многогранников обслуживают три числа, потому что на куб и октаэдр приходится 24 вращения (потому что центры граней для одного это вершины для другого) и на додекаэдр и икосаэдр приходится 60 вращений (аналогично)