Инт. теорема Лапласа
Выбор региона:
-
Все регионы
-
Россия
- Москва
- Санкт-Петербург
- Адыгея
- Башкортостан
- Бурятия
- Алтай
- Дагестан
- Ингушетия
- Кабардино-Балкария
- Калмыкия
- Карачаево-Черкесия
- Карелия
- Коми
- Марий Эл
- Мордовия
- Саха (Якутия)
- Северная Осетия
- Татарстан
- Тыва (Тува)
- Удмуртская Республика
- Хакасия
- Чеченская Республика
- Чувашская Республика
- Алтайский край
- Краснодарский край
- Красноярский край
- Приморский край
- Ставропольский край
- Хабаровский край
- Амурская область
- Архангельская область
- Астраханская область
- Белгородская область
- Брянская область
- Владимирская область
- Волгоградская область
- Вологодская область
- Воронежская область
- Ивановская область
- Иркутская область
- Калининградская область
- Калужская область
- Кемеровская область
- Камчатская область
- Кировская область
- Костромская область
- Курганская область
- Курская область
- Ленинградская область
- Липецкая область
- Магаданская область
- Московская область
- Мурманская область
- Нижегородская область
- Новгородская область
- Новосибирская область
- Омская область
- Оренбургская область
- Орловская область
- Пензенская область
- Пермский край
- Псковская область
- Ростовская область
- Рязанская область
- Самарская область
- Саратовская область
- Сахалинская область
- Свердловская область
- Смоленская область
- Тамбовская область
- Тверская область
- Томская область
- Тульская область
- Тюменская область
- Ульяновская область
- Челябинская область
- Ярославская область
- Еврейская авт. область
- Ненецкий АО
- Ханты-Мансийский АО
- Чукотский АО
- Ямало-Ненецкий АО
- Забайкальский край
- Украина
- Белоруссия
- Грузия
- Туркмения
- Узбекистан
- Таджикистан
- Молдавия
- Киргизия
- Казахстан
- Армения
- Азербайджан
- США
- Израиль
- Чехия
- Германия
- Литва
- Эстония
- Латвия
- Другие регионы
- Без региона
-
Россия
24 февраля 2017 в 20:23 | 72978 | Россия / Санкт-Петербург
Здравствуйте Александр! В задачах раздела "Интегральная теорема Лапласа" рассматриваются дискретные случайные величины. Плотность распределения такой величины это ступенчатый график. В диапазоне от k до k+1 плотность вероятности f(k) остается постоянной, а далее она ступенчато изменяется. Вероятность для k событий равна площади прямоугольника с основанием от k до k+1 и высотой f(k) => P(k)=f(k)*(k+1-k)=f(k)*1. Это в идеале. В реальности, с помощью инт.теоремы Лапласа мы ищем площадь под кривой f(x) с основанием от k до k+1. Т.е. мы интегрируем f(x) от k до k+1. Для 2-х событий k и k+1 вероятность равна интегралу f(x) в диапазоне от k до k+2. В общем случае, вероятность событий в диапазоне от k до k+n равна интегралу f(x) от k до k+n+1. Если бы мы искали вероятность с помощью ф.Бернулли, то P=P(k)+P(k+1)....P(k+n). Т.е. диапазон суммирования по ф.Бернулли не равен диапазону интегрирования по ф.Лапласа. Задача №3: Вы интегрируете от 65 до 80. Это диапазон суммирования. Интегрировать необходимо от 65 до 81. Задача №4: Вы интегрируете от 1250 до 1275. Это диапазон суммирования. Интегрировать необходимо от 1250 до 1276. И т.д.
|
Было бы интересно взглянуть на вычисления - вероятнее всего, там образовалась ошибка округления.
Думается, такой вариант вполне допустим, поскольку теорема Лапласа - это ЗАВЕДОМО неточный метод. В случае небольшого количества испытания - да - погрешность велика, однако на этот счёт существуют свои критерии, о которых есть информация в статье.
1) Теорема Лапласа: вероятность 0 до 105:
0,7019 ("классическая версия")
2) Теорема Лапласа: вероятность 0 до 106:
0,7357 (ваша версия)
3) Более точный расчёт по формуле Бернулли (проверил в Экселе ):
0,7221
Таким образом, в 1-м случае получается недобор, а во 2-м случае - сопоставимый с ним по погрешности перебор.
Но с полной группой событий - дилемма, подумаю, как лучше поступить. Проще всего, будет, конечно, умолчать. Но можно сделать и отдельную справку для продвинутых студентов - даже ссылку на этот топик.
1) "0-105" У меня получилось 0.7009. Считал 2 способами, без использования таблиц.
2) "0-106" У меня получилось 0.7365
3) Бернулли: у меня не получилось посчитать. Excel отказывается работать с факториалами > 160 (подскажите как вы сделали). Принимаю ваше значение 0.7221.
Погрешность:
1) 2.9%
2) -2.0% - на 30% точнее
mathprofi.ru/files/kalkuljator_localnoi_i_interralnoi_teorem_laplasa.xls
http://mathprofi.com/messages/626-Test-Primera-5--stati-Lokalnaya-i-integralnaya-teoremy-Laplasa.html
"Погрешность:
1) 2.9%
2) -2.0% - на 30% точнее"
- погрешности будут меняться в зависимости от диапозона интегрирования и от примера к примеру, таким образом, спор о том, что точнее несколько бессмыслен - ведь оба подхода дают приближённый результат. Однако, заметьте, что Ваше предложение не логично, ибо учитывает "лишнего студента", что приведёт тысячи читателей к неслабой такой путанице.
Осталось обдумать и аккуратно рассказать - как тут быть с полной группой событий.
Логика моего предложения основана на свойствах интеграла (см.объяснение выше).
Оно учитывает ВСЕХ студентов в выборке и никого больше.
Интегрирование ведется ДО "лишнего студента". Но "лишнего студента" не включает.
Стандартный метод ведет интегрирование ДО последнего студента в выборке.
"ДО последнего студента" означает, что последний студент из расчета выпадает.
В этом я вижу ошибку.
Цитата "...что приведёт тысячи читателей к неслабой такой путанице."
Путаница у читателей не имеет отношения к правильности или ошибочности метода.
А теперь к вопросу который вызовает использование стандартного метода:
Проблема с полной группой событий.
Проблема не так малозначительна как кажется.
Достаточно разбить группу событий не на 2, а большее число диапазонов.
Пример задачи:
p=0.5, n=500
Найти вероятность для k
0-200;201-220;221-230;231-240;241-250;251-260;261-270;271-280;281-300;301-500.
Как видно сумма всех диапазонов образует полную группу событий.
Вероятность суммы отдельных диапазонов д.б. P=1.
АМ дает P=1
КМ - P=0.9
Как вы объясните студентам куда делись 0.1 ?
При "традиционном" подходе, как видно из решения, используется знаки нестрогих неравенств , то есть оба конца промежутка включаются. Может, когда я напишу учебное пособие, то разберу этот момент подробно, но не в онлайн статье - у меня будет очень много матюков от посетителей сайта - по той причине, что у них не зачли задачи :)
"Вопрос в том, точнее ли он классического."
Если для отдельно взятого интервала "классический" метод имеет тенденцию занижать приближение, то альтернативный подход с таким же успехом на каких-то интервалах занижает, а где-то и сопоставимо завышает результаты. - Как мы видели в конкретном примере.
"Как вы объясните студентам куда делись 0.1 ?"
При данном подходе это накопленная погрешность вычислений, на каждую группу - приходится в среднем 0,01, что вполне и вполне приемлемо.
В случае необходимости более точных вычислений, есть другой инструментарий (тот же Эксель).
В связи с развитием вычислительной техники, метод Лапласа, кстати, можно считать устаревшим - в 80 годах прошлого века даже банальный логарифм было вычислить не так-то просто.
1) Когда требуется найти вероятность на определённом отрезке (а это подавляющее большинство задач), то смысла что-то модифицировать - нет; если результат и удастся улучшить, то незначительно. Это не стОит того, чтобы всех путать.
2) Когда исследуется полная группа событий, то нужно внести поправки в промежутки и обозначения; причём допустимо использовать 2 способа. Я уже внёс соответствующую информацию после Примера 5 статьи
http://mathprofi.ru/lokalnaja_i_integralnaja_teoremy_laplasa.html
Таким образом, и гуманитарии целы, и технари сыты :)
Konstantin, большое спасибо за замечания!
"Кажется, хорошее решение найдено!"
Это не решение, а попытка завуалировать дырку в методе расчета))
"... а мы не учли интервал от 105 до 106. Вот здесь то и пропал кусочек 0,0338"
А почему вы не учли интервал 105-106? На каком основании вы выкинули "кусочек"?
"Когда требуется найти вероятность на определённом отрезке (а это подавляющее большинство задач), то смысла что-то модифицировать - нет"
Обратимся к предложенной мной задаче (см.выше) n=500, p=0.5.
Для большей ясности разобъем диапазон на минимально возможные отрезки: 0-1, 2-3, 4-5 и.т.д.
Сумма вероятностей всех диапазонов:
БМ - 1.00
АМ - 1.00
КМ - 0.5
Куда делись 50% вероятности? Вы ее то же спишете на погрешность метода?
А ответ простой - вы просто не проинтегрировали ПОЛОВИНУ кривой и "обвинили" :) метод Лапласа в неточности.
"если результат и удастся улучшить, то незначительно. Это не стОит того, чтобы всех путать."
Возвращаясь к задаче.
В диапазоне событий на которые приходится 0,999999973 вероятности, АМ дает большую точность.
Увеличим отрезки 0-10,11-20,12-30...
В диапазоне событий на которые приходится 0,99587 вероятности, АМ дает большую точность.
Увеличим отрезки 0-50,51-100,101-150...
В диапазоне событий на которые приходится 0,99999 вероятности, АМ дает большую точность.
Резюмируя
- в диапазоне +/-2σ а может и +/-3σ - АМ обеспечивает большую точность.
- АМ в отличие от КМ при суммировании дает P=1 и не требует объяснений о "пропавшем кусочке"))
- АМ дает одинаковый ответ при прямом и обратном методе (от противоп.события) и не требует ложных обвинений метода Лапласа в неточности.
Хорошо, давайте я буду переправлять Вам все претензии от читателей, которые использовали АМ, отличный КМ, который изложен в стандартных источниках. Вы согласны? :)
2) "А почему вы не учли интервал 105-106? На каком основании вы выкинули "кусочек"?"
Здесь я имел ввиду, что такое решение машинально напрашивается (исходя из изложенной ранее в статье информации). Таким образом, КМ даёт вполне приемлемый ответ - ведь постановка ТИПОВОЙ задачи такова, что нужно найти приближённое решение на достаточно широком интервале. Оно найдено? Найдено - задача решена, и оценка точности здесь не при чём (об её улучшении в условии речи не идёт). Если углубляться в теоретизировании, то, можно ведь отыскать и ещё более точный метод, нежели тот, который Вы предлагаете.
Однако ниже я всё же кратко изложил суть АМ, плюс ссылка этот эпичный топик :) т.е. люди, которым это будет нужно или интересно - разберутся.
3) подавляющее большинство задач - да, спасибо, здесь я внесу правку, что - типовых задач, которые встречаются реально. И все случаи , которые Вы перечислили к ним не относятся (а я за годы практики, перерешал сотни таких задач, если не добрую тысячу). К слову, на слишком малых отрезках можно использовать локальную теорему
4) "АМ дает одинаковый ответ при прямом и обратном методе (от противоп.события) и не требует ложных обвинений метода Лапласа"
А я и на обвинял метода Лапласа - я руководствовался практическими соображениями (см. пп 1, 2 данного поста). Кстати, это и есть концепция всего ресурса - практика. Я не занимаюсь теоретическими вопросами, однако всегда имею их ввиду и готов обсудить.
Спасибо за интересное общение.
Хорошего дня.