Интересная задачка. В силу периодичности синуса, выделим в функциональном ряду 4 подряда. Для этого удобно расписать 12-16 его членов, я буду записывать только 1-й множитель:
8^1, 4^2, 0^3, 4^4
8^5, 4^6, 0^7, 4^8
8^9, 4^10, 0^11, 4^12
8^13, 4^14, 0^15, 4^16
...
Очевидно, что подряд №3 (с нулевыми членами) будет сходиться при любом "икс".
Из оставшихся подрядов наиболее узким интервалом сходимости обладает подряд №1, его общий член имеет следующий вид:
8^(4k-3) * (x+3)^(4k-3) / (4 + радикал от (4k-3))
k изменяется от 1 до + бесконечности.
Этот подряд и исследуйте на сходимость, лучше всего тут подойдёт признак Даламбера.
Ввиду вышеприведённого обоснования, его область сходимости и будет областью сходимости всего ряда.

Александр Емелин
Большое Спасибо !