Ваши товарищи правы: 50 на 50. Представьте, что у вас в руке монета. Её могли ронять/подбрасывать до вас не то что 10, а сотни, тысячи раз И вопрос: какова вероятность, того, что вот сейчас выпадет орёл или решка?

"и по этому оно становиться зависимым от предыдущих и результат уже далеко не 50%"
- результат броска монеты в отдельном испытании никак не зависит от исходов других испытаний. Рекомендую статью:
http://mathprofi.ru/nezavisimye_ispytanija_i_formula_bernulli.html

Я немного не точно написал условия, если учесть что предыдущие 9 монет упали на одну сторону, то тогда шанс выпадения 10й монеты на ту или иную сторону будет 50% или же 0.5^10? Я думал, что правильно будет рассматривать 10ю монету вместе с 9 предыдущими как одно событие, а не отдельно взятое.

Тогда речь идёт о появлении той или иной КОМБИНАЦИИ в 10 испытаниях (9 орлов и 1 решка, например).
Вероятность же появления орла/решки в ОТДЕЛЬНО взятом испытании неизменна и равна 1/2. Прочитайте рекомендованную мной статью - там как раз хорошо описан этот случай.
P.S. Вы совершаете "Ошибку игрока" :)

P.P.S. Комбинации 9 орлов + решка и 9 орлов + орёл - равновероятны.

Верно ли будет утверждать что в данном примере с каждой ставкой шанс на победу увеличивается? http://s020.radikal.ru/i709/1604/b6/57c497742cbc.jpg
Если да, то у меня в голове не укладывается как с каждой ставкой (ставить на ту сторону которая выпадает) будет шанс увеличиваться и в то же время шанс проигрыша (выпадения на противоположную от ставки сторону) будет равен 50%, то есть с одной стороны у меня шансы увеличиваются с каждой ставкой, а с другой стороны они постоянно равны 50%. Я пришел к выводу что математика не для меня))

Пример, который вы привели по ссылке - корректный, но там же говорится о вероятности ЦЕЛОЙ СЕРИИ из 10 испытаний, а не о том, что вероятность выпадения решки увеличивается/уменьшается.
Всё достаточно подробно и исчерпывающе изложено в этой статье:
http://mathprofi.ru/nezavisimye_ispytanija_i_formula_bernulli.html
Да, по системе "Мартингейл" можно быть достаточно долго в выигрыше и выглядит это соблазнительным. На первый взгляд. На самом деле всё "скомпенсировано" - игрок упускает из виду следующий факт:
очень часто он рискует ОГРОМНЫМИ деньгами чтобы отыграть первоначальную малююююсенькую ставочку.

...

Последний вопрос и я от вас отстаю)
Насколько я понимаю в моём примере (указанном по ссылке) приводится вероятность выигрыша и проигрыша, НО в задаче выигрышем является ставка, к примеру, на выпадение орла, а проигрышем в свою очередь - выпадения решки. Так почему нельзя сказать, что выигрыш это - падение монеты на сторону орла, а проигрыш это падение монеты на сторону решка. Исходя из примера я могу сделать следующий вывод - если я к примеру поставлю второй раз подряд на то что выпадет орел (учитывая что первый раз я проиграл), то шанс на то что я выиграю, будет 34 а шанс проигрыша будет 14, далее если я к примеру поставлю снова на орла (учитывая что первые два раза я проиграл), то шанс на победу будет 78, а шанс на проигрыш будет 18, далее будут такие шансы выигрыша: 1516; 3132; 6364; 127128; 255256; 511512 и мы подошли к 10 броску, если я в 10й раз ставлю на орла то шанс на выигрыш (согласно примеру в ссылке) будет 10231024, а проигрыша 11024. Скажите пожалуйста так какая в данном случае для меня будет разница, между тем как я назову итог следующего события, серией из 10 решек или 10й решка подряд если это должно произойти с шансом 0.0009765625%, результат то будет один и тот же(который описан в примере по ссылке) - шанс моей ставки будет 99.999%(то есть выпадения орла), а шанс проигрыша будет 0.0009765625%( то есть выпадения серии решек, или 10й решка подряд).
Скажите пожалуйста в чем ошибка моих рассуждений, заранее благодарен.

3 к 4; 7 к 8; 15 к 16; 31 к 32; 63 к 64; 127 к 128; 255 к 256; 511 к 512; 1023 к 1024. У меня черточка пропадает чего-то))

Да, формально-то шансы улучшились. Аж на 0,049%. Вы всерьёз добавите дополнительные 1024 фишек к своим игровым средствам (на 11-ю ставку) ради такого улучшения? :) Чтобы однажды с вероятностью 50 на 50 отыграть 1 ставку (за 2047!) или неминуемо проиграть всё? Представьте, кстати, что это деньги.
Единственное, что может увеличиться - это время вашей игры.

На длинной дистанции вы не обыграете соперника при ЛЮБОЙ системе игры. Но теоретически и не останетесь в проигрыше., т.к. средний выигрыш в "орлянке" равен нулю.

В рулетке же любая система приведёт к разорению: если каждый раз ставить 1 ставку наугад (красное/чёрное), то проигрывать будешь медленно. Если играть по системе "Мартингейл", то играть будешь по времени... в среднем столько же. С тем отличием, что проиграешь всё в один момент. Поэтому настоящий адреналин -это не мучиться и поставить СРАЗУ много :)

Если Вы в первый раз проиграли, то это есть событие состоявшееся и достоверное, и оно никак не влияет на то, выпадет ли в следующем броске орёл или решка. Предположим, что вы 9 раз проиграли (выпал орёл). Так может быть? Может. Каковы В ДАННЫЙ МОМЕНТ шансы на победу? 50 на 50. Поэтому имеет смысл рассуждать о вероятностях именно серий. Две серии: 9 орлов + решка и 10 орлов - равновероятны, вероятность каждой из них равна 0.5^10.

Да, если играть по схеме "10 орлов подряд", то вероятность выигрыша будет очень велико (как подсчитано в задаче). Однако, нельзя говорить, что с увеличением размера серии мы увеличиваем свои шансы на выигрыш - наоборот, удвоение ставки довольно быстро становится КАТАСТРОФИЧЕСКИ невыгодным. Так, при 5 орлах подряд (что более чем вероятно) на кон будет выставлено уже 63 ставки (чтобы отыграть одну). А то, что в 6-й раз выпадет решка - это ещё 50 на 50 (т.к. 5 орлов уже "свершилось") Оправдан ли такой безумный риск? Не думаю. Такой риск не оправдан даже в "орлянку", где средний выигрыш равен нулю - зачем? Я каждый раз буду ставить по 1-й ставке и говорить "орёл/решка" наугад. И что самое интересное, вместо "5 орлов", я могу просто не угадать 5 раз подряд, проиграв всего лишь 5 ставок.

Условия: орлянка (вероятность орла/решки = 0,5), ставим всё время на орла, в случае проигрыша удваиваемся.
Результат 11 бросков могут быть всякими: могут выпасть все решки, могут все орлы, могут 5 орлов, потом 6 решек, могут 6 решек, а потом 5 орлов и т. д., всего возможны 2^{11}=2048 комбинаций. Все эти комбинации равновероятны, и вероятность каждой из них равна 1к2048. При этом из всех возможных комбинаций только одна приведёт к разорению: 11 решек, то есть вероятность разорения равна 1к2048. Вероятность выигрыша, то есть любой другой комбинации, кроме 11 решек, равна 2047 к 2048. Разве этот шанс не больше предыдущей серии? Раньше наш шанс на выигрыш был 1023 к 1024 ( с серией из 10 орлов), а сейчас 2047 к 2048. Я разве не прав?

Может, кстати, показаться, что применяя против соперника "метод 10 орлов", можно постоянно иметь преимущество и выигрывать. Это не так. Если у него в запасе достаточно много, например, 1000 фишек, то шансы составят примерно 50 на 50. И на самом деле преимуществом даже обладает соперник (сохранит больше сил и нервов) - ведь он-то каждый раз будет рисковать 1 баксом :)

Опасно "давить по системе" даже соперника с малым количеством фишек. Ну, выиграете у него жалкую сотню... но вы же постоянно и неоднократно рисковали ради этого ВСЕМИ фишками.

Так шансы на выигрыш уже и так 99.99, я не представляю как можно несколько раз подряд с такими шансами проиграть)) В игре в рулетку насколько я понимаю, игроки значительно чаще проигрывают из за присутствия зеро: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0

Спасибо большое за ответы, всего доброго.

Кстати в последней ссылке есть раздел под таким названием: "Парадокс увеличения ставки при неблагоприятной игре", думаю вам будет интересно.

Достоверно известны случаи , когда рулетку "клинило" на 1 цвете более 30 раз подряд! И учитывая, что в неё играют сотни лет - такие серии вполне вероятны. Так что я бы сильно не зарекался от 11 орлов, проиграть 2048 долларов -легче лёгкого. И у многих ли людей, кстати, есть в свободном распоряжении такая сумма? :)
"Заливая" деньги в систему "Мартингейл" мы увеличиваем:
а) среднюю длительность игры (а игрок, как правило, не останавливается);
б) размер "катастрофы" - причём растёт она в геометрической прогрессии.

Да не за что, интересно получилось :)

Александр Емелин
Интересно, что Вы упомянули серию испытаний.
Такая задачка:
Монету подбрасывают n раз.
Вероятность выпадения всегда одинакова и составляет:
для решки 0,63
для орла 0,37.
Как записать формулу которая будет показывать вероятность выпадения решки 23 раза подряд в зависимости от количества бросков монеты?