Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

3.3.1. Как вычислить криволинейный интеграл второго рода?

Криволинейный интеграл второго рода (начало задачи там) тоже сводится к определённому интегралу, и в результате этого перехода мы должны «избавиться» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов».

Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше. НО, принципиально важен их порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3.

Берём уравнение линии и находим дифференциал:

После чего подставляем и в подынтегральное выражение:

Ответ:

Если проинтегрировать наоборот – от точки до точки , то получится то же самое, только с другим знаком: – и здесь легко усмотреть известное свойство определённого интеграла.

Второй способ решения состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения выразим обратную функцию:

и найдём дифференциал: .

Чтобы перейти к определённому интегралу, в подынтегральное выражение нужно подставить и , при этом «игрек» у нас будет изменяться от 1 до 2 («игрековые» координаты точек и ):

Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути*. И да – проверка же, не ленИтесь!

* Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю.

Ответ:

Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать интересные случаи;)

Пример 57

Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки вдоль ломаной, состоящей из отрезков прямых . Выполнить чертёж.

Прорешиваем и продолжаем нарабатывать технические навыки:

Пример 58

Вычислить криволинейный интеграл , где – дуга кривой от точки до точки .

Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. ), впрочем, она здесь заведомо не может – ибо логарифм:

И сейчас я вас познакомлю с ещё одним приёмом решения. В силу свойства аддитивности, интеграл можно разделить на две части:
и с каждым из них разделаться по отдельности:

1) Вычислим . Так как , то , а переменная изменяется от 1 до :

Результат, кстати, не помешает проверить интегрированием по «игрек». Для этого найдём обратную функцию , дифференциал , после чего подставим их в подынтегральное выражение, при этом изменяется от 0 до 1 (см. чертёж):
, что и требовалось проверить. Напоминаю, что второй путь можно смело выбирать и за основной.

Со второй частью всё проще:

Контроль по «игрек»:

Осталось просуммировать полученные в пунктах 1) и 2) значения:

Ответ:

Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено. Очередная «бомба» для самостоятельного решения:

Пример 59

Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно:
– по дуге параболы от точки до начала координат.
Выполнить чертёж.

Решение и ответ в конце книги.

3.3.2. Если линия задана параметрически

3.3. Криволинейные интегралы второго рода

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин