Научись решать за один день!

Блиц-курс – Кратные и криволинейные интегралы

Научись решать за пару дней!

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

Половина задачи решена. Теперь перейдём к повторным интегралам вторым способом.

Для этого нужно найти обратные функции. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является .

Если , то , причём:
обратная функция задает правую ветку параболы;
обратная функция задает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение :

Получено верное числовое равенство, значит, функция определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, такую проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда – после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обойдём область интегрирования вторым способом:

Теперь лазерную указку держим горизонтально, слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы и выходит из области через прямую, которая задана уравнением (красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси строго снизу вверх от 0 до 1 (зелёная стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от до 1,
а «игрек» при этом изменяется от 0 до 1.

Запишем порядок обхода области в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Пример 2

Дан двойной интеграл , где область ограничена линиями . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Пример 3

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

По условию, дан первый способ обхода области, и решение опять начинается с чертежа. Здесь область не лежит на «блюдечке с голубой каёмочкой», но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: , . Функция , понятно, задаёт прямую, но что задаёт функция ? Давайте её немного преобразуем, возведя обе части в квадрат:
– окружность с центром в начале координат радиуса 2. Функция же задаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0.
Итак, изобразим на чертеже прямую , полуокружность и снова посмотрим на исходные повторные интегралы . Луч лазера входит в область вертикально снизу через прямую и выходит из области через полуокружность (красная стрелка), при этом лазерную указку нам нужно переместить слева направо вдоль ось от –2 до 0 (зелёная стрелка). И, исходя из этой замечательной логики, штрихуем искомую область синим цветом:

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»): .
Недавно мы преобразовали функцию к уравнению окружности , и сейчас нам нужно выразить «икс»: . В результате получаем две обратные функции:
– определяет правую полуокружность;
– определяет левую полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.
Изменим порядок обхода области. Согласно второму способу обхода, луч лазера входит в область слева через левую полуокружность и выходит справа через прямую (красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:

и, в общем-то, можно записать ответ:

Пример 4

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие непривычно даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из получаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»). Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: из выражаем «игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через и выходим через . При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0. После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный образец оформления решения в конце книги. Похожий пример будет разобран подробнее чуть позже.

И сейчас внимание! Даже если вы всё отлично поняли, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла. Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я ещё не всё рассказал:

Пример 5

Изменить порядок интегрирования

Решение: запишем функции и выполним чертёж. График второй функции представляет собой кубическую параболу, которая «лежит на боку»:

Порядок обхода области, соответствующий исходным повторным интегралам, обозначен стрелками. Ещё раз посмотрИте на пределы интегрирования и мысленно просканируйте область лазером!

Также обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа у нас прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру!
Перейдем к обратным функциям:
– нужная нам правая ветвь параболы;
.

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом горизонтально – слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях область интегрирования нужно разделить на две части и для каждой части составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу и выходит через прямую (красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:
2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (голубая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы и выходит через ту же прямую (малиновая стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

У интегралов (кратных в частности) есть весьма удобное свойство аддитивности, то есть, их можно сложить, что в данном случае и нужно сделать:
– а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Пример 6

Изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце книги.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Пример 7

Изменить порядок интегрирования

Решение: когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: и .
С линейной функцией всё просто: .
Да и с функцией тоже несложно, её график представляет собой параболу, которая «лежит на боку». Выразим «игрек» через «икс»:

и получаем две ветви: и .

Какую ветку выбрать? Можно провести рассуждения, но проще начертить обе. Даже если вы не сразу понимаете, как они расположены, всегда можно прибегнуть к поточечному методу построения:
Ещё раз обращаю внимание, что на чертеже может получиться несколько плоских фигур, и здесь крайне важно выбрать нужную! В выборе искомой фигуры помогут пределы интегрирования исходных повторных интегралов:
, при этом не забывайте, что обратная функция задаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов – ОБЯЗАТЕЛЬНО проведите действия с лазерной указкой мысленно!

Довольно быстро вы научитесь без труда определять нужную область.
Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, элементарна, меняем порядок обхода области (мысленно сканируем лазером!):

Обратные функции уже найдены, и искомый порядок обхода области таков:

Ответ:

Финальный пример параграфа для самостоятельного решения:

Пример 8

Изменить порядок интегрирования:

Сверяемся с решением и переходим, наконец, непосредственно к вычислению двойного интеграла . Начнём с простейшего случая, когда функция двух переменных равна единице: , и это ещё и особый случай:

1.3. Как найти площадь фигуры с помощью двойного интеграла?

1.2. Область интегрирования и порядок её обхода

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин