Научись решать за один день!

Экстремально короткий курс по интегралам

Научись решать за ОДИН день!

2.2. Несобственный интеграл первого рода

Это интеграл с бесконечным (и) пределом интегрирования, и самый популярный на практике вариант таков: . При этом подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует всегда проверять, и проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то это уже особый случай.

Для определённости положим, что , и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади.
И первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. И такой интеграл называют расходящимся (как отмечалось выше). Но. Как это ни парадоксально, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например, . Такие интегралы называют сходящимися.
Если криволинейная трапеция лежит под осью , то получится «минус» бесконечность либо отрицательное конечное число, т.е. со знаками всё как у «собрата».

И для решения рассматриваемого интеграла нужно немного модифицировать формулу Ньютона-Лейбница – с поправкой, что , а это, как вы догадываетесь, попахивает применением теории пределов:

В чем отличие от определённого интеграла? Да ни в чём особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

Следует отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и иногда его не существует.
Классический пример: . Несмотря на то, что косинус непрерывен на промежутке , этого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела.

Обратите внимание, что вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что другая буква ничем не хуже стандартного «икса». Ну, может, только не такая харизматичная :)

Теперь перейдём к «обычным» задачам и начнём с двух хрестоматийных примеров:

Пример 26
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

В таких заданиях чертежей строить не нужно, но понимания ради:

Подынтегральная функция непрерывна на промежутке , а значит, перед нами несобственный интеграл 1-рода (не забываем, что есть и другие!). Используем формулу :

– таким образом, несобственный интеграл расходится, т.е. площадь криволинейной трапеции бесконечна.

Не забываем пометить, что . Все поняли, почему? Ещё раз откройте Приложение Графики функций и взгляните на график логарифма: при неограниченном увеличении аргумента ветка логарифма уходит вверх на «плюс» бесконечность.

Таким образом, чтобы не было «затыков» с простейшими пределами,
важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания может выглядеть так:
“

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, несобственный интеграл расходится.
“

! При оформлении примера всегда указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 27
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Здесь ситуация вроде бы похожа:

Но: – интеграл сходится, и площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу!

Надеюсь ни у кого не возникло проблем с табличным интегралом и пониманием того, что при ветка гиперболы .

Чистовое оформление примера может быть ещё лаконичнее:
“
Подынтегральная функция непрерывна на , таким образом:

“
Тут даже без послесловия обошлось, ибо и так понятно, что интеграл сходится. И, что особенно приятно, никаких чертежей! По условию же не требуется.

Рассмотрим более содержательный пример:

Пример 28
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Со знаменателем всё хорошо и подынтегральная функция непрерывна на . Но интеграл не так прост, особенно для «чайника». Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать?

В этом случае целесообразно применить тот же алгоритм, что и для определённого интеграла,… вы точно наклеили его на стену? …Ай-яй-яй – а ведь давно пора организовать дома красный угол высшей математики!

1) Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

И тут прямо напрашивается навести под корнем порядок, проведём замену и навесим на обе части дифференциалы:

, откуда выразим нужный кусок:

2) Проверим найденную первообразную дифференцированием:

– в результате получена исходная подынтегральная функция, что и требовалось проверить.

3) И теперь с несобственным интегралом никаких проблем, по формуле :

Точно так же, как и у «собрата», в несобственном интеграле допустима замена переменной с вычислением новых пределов интегрирования, и поэтому решение можно оформить другим способом:

Подынтегральная функция непрерывна на , проведём замену .

Вычислим новые пределы интегрирования:

Но самый продвинутый и быстрый способ – это подвести функцию под знак дифференциала, в этом случае решение будет выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на , таким образом:

Кому как нравится, кому как удобнее! И, конечно, тут нужно учитывать целесообразность того или иного способа – в зависимости от того, простой интеграл попался или посложнее.

А сейчас два типовых примера для самостоятельного решения:

Пример 29
Исследовать сходимость несобственных интегралов
а) , б)

В пункте «а» используем метод выделения полного квадрата. И обратите внимание на формулировку задания, если оно сформулировано именно так, то, вообще говоря, нужно дать ответ: «сходится», «расходится» или «не существует». На практике встречаются неберущиеся интегралы, и тогда этот вопрос решается не вычислением, а использованием признаков сравнения, которые не вошли в настоящий курс ввиду их малой распространенности в «массовых» работах.

2.3. Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

2.1. Понятие несобственного интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин