1.4. Замена переменной в определённом интеграле

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла, но иногда её проводить нельзя (о чём позже). Ну а основная новизна состоит в том, как поменять пределы интегрирования при замене? В примерах ниже я постараюсь привести такие типы замен, которые не встречались ранее:

Пример 5
Вычислить определенный интеграл

Во-первых, замечаем, что отрезок входит в область определения подынтегральной функции (подкоренное выражение больше нуля вообще при любом ).

И главный вопрос здесь не в определённом интеграле, а в том, какую подобрать замену. Смотрим в Таблицу интегралов (см. Приложения) и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка: в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. И из этих рассуждений следует идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим интеграл к замене:
(прерываем решение для промежуточных действий)

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
, после чего в знаменателе будет всё хорошо: .

Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого навешиваем дифференциалы на обе части:

раскрываем дифференциал слева:

и выражаем нужный нам кусок:

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле, у нас добавляется дополнительный этап: находим новые переделы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
,
затем подставляем верхний предел интегрирования – корень из трёх:

И всего-то лишь…. Завершаем решение:

(1) В соответствии с проведённой заменой, записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу лучше оставить за скобками, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница и упрощаем результат по известной формуле.

И особенно приятно, что никаких обратных замен проводить не нужно.
А сейчас пара интегралов для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно.

Пример 6
Вычислить определенные интегралы
а) , б)

Решения и ответы в конце книги. Приложение Тригонометрические таблицы в помощь, в изучаемой теме этот справочный материал требуется довольно часто.

И теперь обещанный момент о правомерности замены. В определённой ситуации её проводить нельзя! Так, интеграл , казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки , однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена» должна быть непрерывна во всех точках отрезка интегрирования.

1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?

1.3. Простейшие определённые интегралы

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин