Научись решать за один день!

Экстремально короткий курс по интегралам

Научись решать за ОДИН день!

1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Всё, что справедливо для неопределенного интеграла, в полной мере справедливы и для определенного интеграла. Плюсом идёт то, что в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь нужно применить дважды: для произведения и после того, как мы возьмём интеграл . Ну и, конечно, подынтегральные функции должна быть непрерывны на , ибо на «нет» и интеграла нет.

Пример я подобрал не самый простой, но очень и очень познавательный:

Пример 8
Вычислить определенный интеграл

Сразу начинаем решение и сразу прерываем его «звёздочкой». Этот тип интеграла не встречался ранее, он тоже берётся по частям. Используем стандартную схему интегрирования по частям:

Интеграл от квадрата тангенса я разбирал в 1-й части курса, но на чистовике, естественно, всё расписываем подробно, вспоминая заодно насущные тригонометрические формулы:

Далее открываем решение и на первом шаге

(1) расписываем правую часть формулы :

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойство линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл также разобран ранее, однако, не поленюсь:

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего.

Если честно, я недолюбливаю формулу и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, который, с моей точки зрения, более рационален:

На первом этапе находим неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. …Кстати, все ли поняли, почему в определённом интеграле не имеет смысла приплюсовывать константу ?

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования.

На втором этапе проводим проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Ведь если неправильно найден неопределённый интеграл, то… правильно! И это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

– получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная найдена верно.

И третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:

Здесь тоже есть существенная выгода! – это гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях, т.к. формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз.

Рассмотренный алгоритм решения
можно применить для любого определенного интеграла!

И нужно, если интеграл трудный. Так, если «чайник» решит разобранный интеграл по формуле (1-м способом), то 99% где-нибудь допустит ошибку.

Уважаемый студент, распечатай и наклей рядом с формулой Ньютона-Лейбница:

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если не получилось, повышаем свои навыки интегрирования.

2) Проверяем найденную первообразную дифференцированием. Здесь, кстати, может статься, позабылись производные – и тогда самое время подтянуть свои навыки!

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания. Царь тут!

И на холодную закуску интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9
Вычислить определенный интеграл

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин