Алгебра изучает структуры, операции и закономерности. Группа — множество с ассоциативной операцией, нейтральным элементом и обратными элементами; если операция коммутативна, группа абелева. Подгруппы, смежные классы и нормальные подгруппы приводят к фактор-группам. Гомоморфизмы сохраняют операции, а теорема о гомоморфизме связывает ядро, образ и фактор. Кольцо имеет сложение и умножение; идеалы позволяют строить фактор-кольца. Поле — коммутативное кольцо, где каждый ненулевой элемент обратим. Многочлены изучаются через делимость, корни, неприводимость и разложение. Расширения полей описывают присоединение элементов. Теория Галуа связывает автоморфизмы поля с разрешимостью уравнений в радикалах. Важны также действия групп, теоремы Силова, евклидовы кольца, конечные поля, модули, алгебры, представления и классификация конечнопорождённых абелевых групп.