Векторна функція скалярного аргументу. Похідна за напрямом. Градієнт. Скалярні там векторні поля.





Векторна функція скалярного аргументу. Похідна за напрямом. Градієнт. Скалярні там векторні поля.

28.1 Векторна функція скаларного аргументу.

Означення. Співвідношення, при якому кожному числу tТR ставиться у співвідношення, за певним законом, один і тільки один вектор , називається векторною функцією або вектор-функцією скалярного аргументу t .

Її позначають . Множину Т  називають областю визначення функції . В якості Т беруть відрізок  або  числової вісі. Число t називають параметром.

Як будь-який вектор, вектор-функцію  скалярного аргументу можна розкласти по базисним векторам  при фіксованому значенні t :

Безумовно, що координати x, y, z вектор – функції  є функціями від t, тобто , область визначення для яких співпадає з Т. Тому має місце три скалярні рівності: .

Якщо початком вектора  буде точка О, при різних значеннях , то кінцева точка M(t) у просторі опише певну лінію, яку називають годографом вектор-функції . Рівність  називають векторно-параметричним рівнянням годографа, а рівності  — його параметричними рівняннями.

Якщо: , , , то вектор  називається границею вектор-функції  в точці t=t0. В цьому випадку має місце запис .

У випадку виконання умови  говорять, що вектор-функція  неперервна в точці t=t0 .

Якщо  — довільний прирост параметру, то

називають приростом вектор-функції . У випадку, коли існує границя :

то її називають похідною вектор-функції  в точці t  позначають , .

            Вектор  завжди направлений по дотичній до годографа функції  в сторону зростання параметра t . З фізичної точки зору,  — вектор миттєвої швидкості руху матеріальної точки по траєкторії, яка є годографом функції , в момент часу t  в точці M(t).

            Якщо існують похідні , то існує похідна :

Оскільки вектор направлений по дотичній до кривої  в точці M0 (t0), то рівняння дотичної до кривої в точці M0 має вигляд:

Площина,  яка  перпендикулярна дотичній і проходить через точку дотику M0 (t0), називається нормальною площиною до кривої в указаній точці. Її рівняння має вигляд:

 

Для векторної функції скалярного аргументу мають місце такі властивості:

1. ;

2.    , де С – стала;

3.     ;

4.   

 

 

 

28.1. Похідна за напрямом. Градієнт.

 

Напрям у просторі можна задавати за допомогою одиничного вектора з координатами , де — кути, що утворені вектором  з осями координат Ox, Oy, Oz відповідно.

Розглянемо функцію u = u (x,y,z) і точку М(x,y,z) в певній області D простору.

 

 

       Побудуємо з точки М вектор , направляючі косинуси якого . На векторі , на відстані  від його початку розглянемо точку М1(x+х,y+у,zz).

       Таким чином:

 

Будемо вважати, що функція u (x,y,z) неперервна і має неперервні частинні похідні в області D.

 

Тоді, повний приріст функції:

,

 де прямують до нуля при умові 0 .

Ділимо на :

 

 

Тоді:

                     

 

Таким чином:

 

 

            Границя відношення  при 0 називається похідною від функції u(x,y,z) в точці М(x,y,z) за напрямом вектора  і позначають :

.

 

            Тоді:

 

       У кожній точці  області D, де задана функція u = u (x,y,z), визначимо вектор, проекціями якого на вісі координат є значення частинних похідних цієї функції у відповідній точці:

 

       Цей вектор називається градієнтом функції u (x,y,z). Говорять, що в області D визначено векторне поле градієнтів.

       Якщо  , то:

 

       З цього зв’язку між похідною за напрямом і градієнтом функції u (x,y,z) випливає:

- градієнт функції направлений в сторону максимального зростання значень функції;

- якщо одиничний вектор  і вектор утворюють прямий кут, то ;

- вектор має напрям нормалі в точці М поверхні функції u (x,y,z).

28.2.Скалярні та векторні поля.

 

Якщо в кожній точці М (x,y,z) тримірного простору V визначена скалярна величина u(x,y,z), то говорять, що у просторі задано скалярне поле u=u(M), тобто будь-яка числова функція u(M)=f(x,y,z) у просторі V визначає скалярне поле.

Графічно скалярне поле можна показати за допомогою поверхонь рівня f(x,y,z)=С у просторі або за допомогою ліній рівня f(x,y)=С на площині Оху.

Для будь-якої функції u=f(x,y,z), яка диференційована в точці M0(x0,y0,z0), число  визначає швидкість зміни скалярного поля за напрямком  .

            Якщо у кожній точці М (x,y,z) тривимірного простору V визначено вектор , де — скалярні функції, то говорять, що в цьому просторі задано векторне поле . Якщо функції  неперервні, то і поле буде неперервним.

            Приклади векторних полів — поле швидкостей рідини, яка протікає, поле швидкостей твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю  навколо даної вісі тощо.

            Векторна (силова)  лінія векторного поля – це лінія, в кожній точці М якої вектор векторного поля направлений по дотичній.

            Прикладами векторних ліній можуть бути силові лінії магнітного поля, траєкторії точок, що обертаються у просторі тощо.

            Область простору, яка суцільно складається з векторних ліній, називається векторною трубкою. В кожній точці М поверхні векторної трубки вектор належить до дотичної площині, яка проведена в точці М  до цієї трубки.

            Векторне або скалярне поле, координати якого не залежать від часу, називається стаціонарним.

 

 

Поверхневі інтеграли та їх обчислення.

 

 

28.3. Поверхневий інтеграл І роду та його обчислення.

 

 

Нехай f(x,y,z) – неперервна функція в точках гладкої поверхні S тривимірного простору. Поверхня вважається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. За допомогою кусково-гладких ліній поділимо поверхню S на п елементарних площин Si , площі яких позначимо через  Si ( i = 1…п ), а діаметри – Ø Si. На кожній площині Si довільно виберемо точку Мii, уi, zi) і обчислимо fi, уi, zi) та складемо суму:

 

Якщо існує границя вищезазначеної суми, яка не залежить від способу ділення поверхні на частини і вибору точки Мii, уi, zi), то її називають поверхневим інтегралом І роду від функції f(x,y,z) по поверхні S. Тобто:

, де – max Si .

 

Поверхневий інтеграл І роду має такі властивості:

1. 

2.

3. Інтеграл дорівнює площі поверхні.

Інтеграл  – маса поверхні  S , при умові, що функція – функція густини по поверхні S .

Якщо область D – проекція поверхні  S на площину Оху і поверхня задана рівнянням z = F(x,y), то має місце формула:

 

Приклад. Обчислити , де S – частина поверхні конуса , яка знаходиться між площинами z=0 і z=2.

З рівняння поверхні випливає, що проекція поверхні на площину Оху – круг . Тоді:

                     

 

 

  1. Поверхневий інтеграл ІІ роду та його обчислення.

 

 

Сторона гладкої поверхні S , з кожної точки якої встановлено нормальний вектор  нормалі, вважається додатною, а друга її сторона (якщо вона існує) – від’ємною.

Якщо, в частинному випадку, поверхня S замкнута і обмежує певну область V простору, то додатною або зовнішньою стороною поверхні називається та її сторона, нормальні вектори якої направлені від області V, а від’ємною або внутрішньою – сторона, нормальні вектори якої направлені в область V.

Поверхня, у якої існує додатна (зовнішня) і від’ємна (внутрішня) сторони, називається двостороньою. Двохсторонні поверхні мають властивість: якщо основа вектора нормалі  неперервно рухається по довільному замкненому контуру l, що знаходиться на поверхні, і повертається в точку, з якої почався рух, то напрям вектора  співпадає з початковим.

 

 

Приклади двосторонніх поверхонь – площини, всі поверхні другого порядку, тор тощо.

Для односторонніх поверхонь вищезазначений рух нормалі  приводить до ”антинормалі”, тобто до вектора – . Класичний приклад такої поверхні – стрічка (лист)  Мьобіуса.

Поверхня S з вибраною стороною називається орієнтованою.

Якщо поверхня S  задана рівнянням z=f(x,y), то нормальний вектор , який утворює з віссю Oz гострий кут , можна задати таким чином , а координати одиничного направляючого вектора нормалі  дорівнюють направляючим косинусам: або  , де .

У випадку, коли поверхня S задана рівнянням F(x,y,z)=0, то , знак ”+” беруть у випадку коли кут  є гострим і ”– ” – коли кут  є тупим.

Нехай в області V тривимірного простору визначена векторна функція

 , яка неперервна в заданій області V.  Нехай S – гладка поверхня, яка знаходиться в даній області V, з вибраною додатною стороною, тобто з вибраним напрямом вектора . Поділимо поверхню S  кусково-гладкими лініями на елементарні площини Si, площі яких позначимо через  Si ( i = 1…п ). На кожній площині Si довільно виберемо точку Мii, уi, zi).

Якщо існує границя:

                             , де – max Si , то вона

називається поверхневим інтегралом ІІ роду від функції  по поверхні S.

Таким чином:

 

При зміні сторони поверхні знак інтеграла змінюється на протилежний.

Оскільки , то вищезазначений інтеграл можна записати у вигляді:

 

Якщо S – замкнута гладка поверхня у просторі V і , – неперервні функції та їх частинні похідні першого порядку в області V , то має місце формула Остроградського-Гауса:

 

або

 

,

 

де – направляючи косинуси зовнішньої нормалі до поверхні  S .

            Формула Остроградського-Гауса дозволяє спростити обчислення багатьох поверхневих інтегралів.

            Приклад. Обчислити:

            , де S – зовнішня сторона поверхні тіла, яке обмежено площинами х=0, у=0, z=0, x+2y+3z=6  .

 

 

Маємо:

, оскільки потрійний інтеграл

дорівнює об’єму тетраедра.

 

 

  1. Потік векторного поля через поверхню. Дивергенція векторного поля.

 

 

Потоком векторного поля через поверхню S  за напрямом одиничного вектора нормалі

  поверхні S називається поверхневий інтеграл ІІ роду:

 

 

            Якщо вектор  визначає векторне поле швидкостей текучої нестисної рідини, то вищезазначений інтеграл дорівнює об’єму V рідини, що проходить через поверхню S  в напрямку нормалі за одиницю часу (в цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла ІІ роду):

.

 

            З формули випливає, що П – скаляр. У випадку, коли кут між вектором і гострий, то П > 0, а якщо тупий, то П < 0.

Теорему Остроградського-Гауса застосовують у випадку коли поверхня S є замкнутою:

          =

Нехай – поле швидкостей нестисної рідини. Якщо П > 0, то з формули випливає, що з області V витікає більше рідини ніж втікає. Це означає, що в області V існують джерела – точки, з яких рідина витікає. Якщо П < 0 , то з області V витікає менше рідини ніж втікає – в області V існують стоки – точки, через які рідина витікає.

У випадку, коли в області V задано функцію , де функції

мають частинні похідні в точці М(х,у,z) по х, у, z відповідно, то дивергенцією або розбіжністю векторного поля  в точці М(х,у,z) називається величина, що дорівнює сумі вищезазначених частинних похідних  обчислених в точці М:

 

 

            З фізичної точки зору характеризує густину джерел або стоків поля в точці М. Якщо > 0, то точка М – джерело, якщо < 0, то точка М – сток. У випадку = 0  зрозуміло, що в точці М відсутні джерела і стоки.

            З наведених формул випливає:

,

 

тобто потік П векторного поля через замкнуту поверхню S через зовнішню поверхню дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього поля по області V , яка обмежена поверхнею S.

            Приклад. Обчислити потік векторного поля  через верхню частину площини , що знаходиться в першому октанті.

            З рівняння площини знаходимо . Нормальний вектор цієї площини  , який утворює з віссю Oz гострий кут.

           

Приклад. Обчислити дивергенцію векторного поля

 в точці М0(1, -2, 3).

Маємо:          .

Для точки М0 отримаємо , тобто точка М0 є джерелом поля.

  • Автор сообщения: Dasha

Комментариев пока нет. Вы можете стать первым!  
Добавить комментарий