Здравствуйте, попробуйте использовать степенные ряды, а именно, найдите сумму S(x) степеннного ряда (-1)^2 * x^((2n+1)^2) / (2n+1)^3 , который сходится абсолютно на отрезке от -1 до 1. Далее нужно просто вычислить S(1) - это и будет сумма вашего числового ряда. На этот счёт есть обширная теория и практика:
http://mathprofi.ru/summa_stepennogo_ryada.html
а именно, вам потребуется почленное дифференцирование степенного ряда.
Но результат не гарантирован (не проверял).

Ещё есть вероятность, что сумма аналогично отыскивается через какой-то ряд Фурье
И ещё есть вероятность, что в условии опечатка или сумму требуется найти приближенно о определенной точностью

Большое спасибо за ответ, Александр! Попробую сделать то, что Вы посоветовали. Также заменил картинку на полную задачу. Там еще есть пункт а), в котором говорится про ряды Фурье, возможно. туда и нужно копать. Опечатки, по идее, быть не должно, т.к. это задача с реального вступительного экзамена.

Думаю, надо копать в сторону почленного интегрирования/дифференцирования, т.к. общая формула уж больно напоминает разложение арктангенса в степенной ряд

Конечно через ряд Фурье! - это же одно задание в два пункта. Там нужно подставить какое-то значение "икс" в ряд Фурье - чтобы получился ваш числовой ряд (вероятные значения: 0, пи/2, пи либо 3пи/2). Далее подставляем это "икс" в функцию f(x) - это и будет сумма ряда. Если что-то не срастается, то, очевидно, неверно найден ряд Фурье.
P.S. Через артктангенс не получится, скорее всего.