Здравствуйте! После дифференцирования модуль становится не нужен.
Вот более простой пример для понимания - функция y= ln|x| определена для всех x кроме нуля, распишем её кусочно: y= ln(-x), если x меньше 0 и y= lnx, если x больше 0. Найдём производные кусков, по правилу дифференцирования сложной функции:
y'= 1/(-x) * (-x)' = 1/(-x) * (-1 ) = 1/x, если x меньше 0;
y' = 1/x, если x больше 0.
Таким образом, при дифференцировании y= ln|x| знак модуля можно просто убрать и сразу записать, что y' = 1/x.
Аналогично, с более сложной начинкой логарифма.
Спасибо за вопрос!

Александр, большое спасибо за ответ и ваш сайт. То что вы сделали невероятно полезно. Спасибо!