Вопрос по теории предела функции двух переменных





Доброго времени суток!

 

В процессе прочтения главы "Предел функции двух переменных. Понятие и примеры решений" возник вопрос: а почему, в качестве пути приближения к предельной точке, мы безвариантно выбираем y=kx?

Есть ли какое-то правило, которое побуждает нас к такому выбору или это выбор из сообржения удобства?

 

Я тут просто вычитал, что от выбора пути зависит и результат вычисляемого предела: если мы выберем y=sqrt(x) - а почему нет? -  то результаты вычислений могут быть иными, или я ошибаюсь?

Как пример, откопал вот: (x * y^2) / (x^2 + y^4) | x->0; y->0

 

Надеюсь, следующий вопрос не будет здесь оффтопом: а как выбор пути приближения y=kx учитывает ситуации, когда ф-я не определена в нескольких точках и такие точки лежат на пути нашего пути? :) Или это невозможная ситуация?

 

  • Автор сообщения: Alex

Всего: 4 комментария.
Добавить комментарий

Александр Емелин    26.02.2016 в 20:01
Здравствуйте, Alex, спасибо за содержательные и обстоятельные вопросы.
Всё верно, прямые y=kx мы выбираются из соображений удобства. Следует отметить, что это лишь "полуметод" - его можно использоваться ТОЛЬКО для доказательства расходимости ряда (по той причине, что функций бесконечное множество и все их перебрать "прямой подстановкой" невозможно).

"Я тут просто вычитал, что от выбора пути зависит и результат вычисляемого предела"

Именно так и обстоят дела, когда общего предела не существует. В примере, который Вы привели, действительно выгодно рассмотреть путь y=sqrt(x) - в пределе получится 1/2. А если рассмотреть y=x, то получится 0. Таким образом, ряд расходится.

Александр Емелин    26.02.2016 в 20:15
"а как выбор пути приближения y=kx учитывает ситуации, когда ф-я не определена в нескольких точках и такие точки лежат на пути нашего пути?"

Тогда это невозможный путь и рассматривать его нельзя :) Здесь есть такие варианты:
1) Исследовать другие допустимые функции;
2) Или же (если это возможно) работать с "дефектной" функцией, но оговориться, что мы рассматриваем её в ТАКОЙ окрестности предельной точки (путь и очень малой), что все "недоразумения" остаются вне данной окрестности и "ничто не мешается на пути"

Alex    26.02.2016 в 23:33
Доброго времени суток, Александр!
Благодарю за обстоятельные ответы.
По первому вопросу - понял, перечитал теорию и понял еще больше :)

А по второму вопросу, если можно, хотелось бы уточнить.
В той же главе есть пример №4:
3x / (x+y^3)

Как там же указано: данная функция терпит разрыв по кубической параболе x=-y^3.
То есть это множество точек, которые могут пересечь наши "пробные" прямые пути.
Однако мы там , всё равно, используем наш оценочный "полуметод".
Правильно ли я понимаю, что это наш второй случай?:
"2) Или же (если это возможно) работать с "дефектной" функцией, но оговориться, что мы рассматриваем её в ТАКОЙ окрестности предельной точки (путь и очень малой), что все "недоразумения" остаются вне данной окрестности и "ничто не мешается на пути"

Александр Емелин    26.02.2016 в 23:53
Да, совершенно верно - спасибо и Вам, как раз сейчас собираюсь администрировать сайт и внесу соответствующую оговорку в Пример 4, а также дополнения на счёт необязательности использования именно прямых y=kx