Основы формальной логики и предикатной логики первого порядка. Вступление: В этой статье будет рассказано о том, что из себя представляет логика, на какие категории она делится, для чего она нужна и будут затронуты её законы. Первая часть: Логика, как инструмент, была придумана в трёх разных независимых культурах: Греции, Индии и Китае. Однако ни в Китае, ни в Индии логика не прижилась. В Греческой философии был человек, именуемый Аристотелем, который и придумал логику. После она дополнялась, спустя около 2 тысяч лет, только несколько раз (в 19 веке Готлоб Фреге придумал кванторы, речь о которых зайдет позже). Аристотель предполагал логике быть инструментом для познания, то есть, к примеру, существует множество различных наук: Физика - наука о природе, Метафизика - наука о природе природы и т.д. Но все науки должны покоиться на неком каркасе, который един для всех наук, то есть общий метод познания. Этим методом познания, по Аристотелю, должна была быть логика. Так как без логики мы коллекционируем знания об окружающем мире. В ХХ веке логика, прошедшая изменения в нотации, обрела как минимум одну новую операцию, которая была описана выше. На основе логических построений была создана такая дисциплина, как Информатика, она же - Теория о Информации. Оттуда же произошло само программирование, практически все языки программирования основаны на измененной Аристотелевской логике, которая именуется, как Предикатная Логика первого порядка (сокращенно - Логика). Вторая часть: Понятно, что не бывает объективных определений, но для того, чтобы о чем-то рассуждать, нужно дать этому четкое определение, поэтому Логика - наука о правильном мышлении. Некоторые скажут, что Логика - наука, некоторые - нет. Кто-то скажет, что логика не изобретение, а открытие. Логика - наука, вместе с тем логика - нормативная система, потому что она задает стандарты правильного мышления. Бывает два типа логики: 1) Дедуктивная; 2) Индуктивная. Их можно различить по ряду нескольких причин: -В дедуктивном аргументе истинность условия гарантирует истинность умозаключения -В индукции нет Еще бывает два типа логики, но по другому критерию: 1) Формальная; 2) Неформальная ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА записывается в виде уравнений. НЕФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА записывается в виде высказываний, то есть в текстовом виде. У формальной логики есть такое преимущество, позволяющее исследовать синтаксические конструкции, который неупотребимы в повседневном языке. Формальная логика: Формальная логика зиждется на китах, которые в свою очередь играют роль законов и принципов. Закону требуется следовать всегда, любое утверждение не должно противоречить трем основным законом, его можно записать в виде формулы. А принцип не имеет логической формы и, в отличии от закона, является рекомендацией. 1-й закон - Закон тождества (а=а) 2-й закон - Закон непротиворечия ( а или не(а)) 3-й закон - Закон исключенного третьего (бивалентности) ( Утверждение может быть только истинным, либо ложным. Третьего не дано ) В основе формальной логики стоит принцип достаточного обоснования - Если что-то утверждается, то оно должно быть на чем-то основано. Его иногда выдают за четвертый закон, но таковым он не является.  В формальной логики есть базовые операции: 1-е - Отрицание (не). ( знак: ~, либо имеет вид символа, обозначающего приставку) Если мы утверждение а и утверждение не (а), то тогда, когда утверждение а будет истинным, утверждение не (а) будет ложным. Получится релевантное утверждение, если значения поменять местами.  Отрицание не обозначает противоположность. В логике не (а) это все, кроме а.  2-е - Конъюнкция (И). (знак: ?) Утверждение а?б = истина, если оба утверждения истинны, а если хотя бы одно ложно, то все утверждение является ложным. Следовательно, если оба утверждения в операции верны, то тогда утверждение истинно. Но если одно из утверждений будет ложным, то и вся операция будет ложной. 3-е - Дизъюнкция (ИЛИ). (знак: V) Утверждение а V б истинно: а) а истинно, б ложно; б) а ложно, б истинно; в) а истинно, б истинно. То есть утверждение с использованием дизъюнкции будет истинно тогда и только тогда, когда истинно будет либо одно из утверждений (а или б), либо истинны будут оба утверждения, по-другому никак. 4-е - Импликация (знак: ->(значит)) Утверждение а -> б истинно: а) Если оба значения верны, утверждение истинно; б)Если оба значения НЕВЕРНЫ, то утверждение истинно; в) Если а - ложно, б - истина, то утверждение истинно. 5-е - Эквивалентность. Если истинным является утверждение а -> б, истинным является утверждение б -> а, если а приводит нас к б, б приводит нас к а, то а=б Это был список, состоящий из пяти основных логических операций, которые являются краеугольным камнем самой логики. Предикатная логика: В логике предикатов заглавными буквами обозначаются предикаты. Что такое предикаты? Рассмотрим на примере: Я помыл машину. Предложение состоит из субъекта и предиката, то есть предикат - это все, корме субъекта. В предикатной логике есть две новые и в это же время необходимые операции, именуемые кванторами. Зачем нужны кванторы? Нужны затем, что без кванторов в предикатной логике первого порядка вы, грубо говоря, ничего сделать не сможете. Рассмотрим же их: 1) Универсальный квантор (?(х)). Квантор всеобщности: -Если утверждение начинается со слов "Все...", то к применению будет необходим квантор всеобщности. -Читается как «для всех…», «для каждого…», «для любого…» или «все…», «каждый…», «любой…». -В развернутом виде выглядит так: "Для всех (х) истинным является утверждение о том, что..." Пример: Для всех (х) истинным является утверждение о том, что, если х является котом, следовательно х является усатым. Это означает, что, чем бы не являлся объект, но если он является котом, то он обязательно должен быть усатым. Он может быть хоть кем, но если является котом, то обязан быть усатым. 2) Экзистенциальный квантор (?(х)). Квантор существования. -Читается как "для некоторого..." Сразу к примеру: Некоторые коты пушистые. Это утверждение означает, что одновременно нечто является котом и является пушистым. Повтор: 1) Отрицание (не), Знак: ~, либо сигнификация приставки при морфемном разборе слова. 2) Конъюнкция (и), Знак: ? 3) Дизъюнкция (или), Знак: V 4) Импликация (если.., то..), Знак: -> Квантор всеобщности: ? Квантор существования: ?