3.1.2. Если линия задана параметрически

Довольно часто линия бывает задана параметрическими уравнениями , в этом случае нужно использовать следующую формулу:
– если значение параметра возрастает .
И для убывающего параметра :

В частности, при получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой:
.

Пример 55

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности при изменении параметра .

Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности:

По условию, значение параметра возрастает , поэтому пользуемся формулой .

Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные:
и причесать корень:
…Мда, тут вообще стрижка наголо получилась =) Ну что же, парикмахеру легче, по указанной выше формуле имеем:

Ответ:

Напоминаю, что криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования. Так, в разобранной задаче можно интегрировать наоборот – от точки до точки , при этом значение параметра убывает от до , в результате чего мы пользуемся второй формулой (со знаком «минус») и получаем тот же ответ.

И на всякий пожарный, формула для кривой, заданной уравнением в полярных координатах:

3.2. Важные свойства криволинейных интегралов

3.1.1. Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин