Научись решать за один день!

Экстремально короткий курс по интегралам

Научись решать за ОДИН день!

2.5. Несобственные интегралы второго рода

Это интегралы от неограниченных (сверху и / или снизу) функций. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: . Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв: 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или разрывы даже есть внутри.

На практике гораздо чаще и одинаково часто встречаются первые два варианта, и сейчас я подброшу монетку… так, начинаем, со Случая 1, когда подынтегральной функции не существует в точке .

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле нет – это несобственный интеграл второго рода: если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Проверим заодно и верхний предел: . Здесь всё хорошо. И вообще, обязательно анализируем весь знаменатель, а то, может статься, точки разрыва есть и внутри отрезка (и это не выдумки). В нашем примере знаменатель обращается в ноль в единственной точке, а значит, вопрос закрыт.

Принципиально этот случай выглядит так:

И здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода. Если интеграл существует, то он численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо он равен конечному числу (площадь бесконечной фигуры – конечна!).

Осталось модифицировать формулу Ньютона-Лейбница, я приведу упрощённый по сравнению с учебниками вариант, без лишних букв:

«Добавка» символизирует тот факт, что к точке разрыва мы приближаемся справа (красная стрелка на чертеже). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

Разделаемся с демонстрационным интегралом:

Пример 35
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Во-первых, ПИСЬМЕННО констатируем тот факт, что подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

И приём стар, как чешуя динозавра: сначала всегда можно найти неопределённый интеграл.

Особенно, если пример не прост и особенно в кубе, если вы «чайник».

Проведём замену: , откуда выражаем оставшийся кусок исходного интеграла, сиротливый дифференциал:

Проверка:
, в чём мы и хотели убедиться.

Теперь вычислим несобственный интеграл, сначала решение, затем комментарии:

(1) Используем формулу

(2) и её продолжение , где при подстановке нижнего предела интегрирования вместо «икс» мы формально подставляем «икс».

(3) Но самое главное: как выяснить, куда стремится , если ? Всё просто. Мысленно либо на черновике подставляем под корень и проводим упрощения: – в результате получено бесконечно малое положительное значение, поэтому .

Результат получился отрицательным, и в этом нет криминала, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .

Решение можно оформить и по-другому. Например, провести ту же замену прямо в несобственном интеграле с пересчётом новых пределов интегрирования. Ну и совсем шикарно обыденно – это с ходу подвести под знак дифференциала:

А сейчас два интеграла для самостоятельного решения:

Пример 36
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость
а) , б)

В образце я привёл прямое решение с подведением под знак дифференциала и подробно закомментировал что, к чему и почему стремится. Обязательно разберитесь!

Случай 2. Если подынтегральной функции не существует в точке .

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь всё так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению слева:

Такой предел называют левосторонним, и бесконечно малая отрицательная «добавка» означает, что к точке «бэ» мы подбираемся по оси именно слева.

Пример 37
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Очевидно, что подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке , но не пренебрегаем и проверяем, что больше разрывов нет! – по той причине, что знаменатель обращается в ноль в единственной точке.

Интеграл решим методом подведения под знак дифференциала:

(1) Берём интеграл и используем формулу . Наверное, вы обратили внимание, что саму формулу на чистовик записывать не обязательно. Все эти формулы носят частный характер и не предназначены даже для запоминания – самое главное, ПОНИМАТЬ, что происходит в том или ином интеграле, в том или ином случае. Не забываем быстренько выполнить черновую проверку:
, ОК.

(2) Представляем первообразную в более удобном виде.

(3) Подставляем в неё пределы интегрирования: , формально считая, что вместо «икс» мы подставляем «икс».

Как выяснить, что при дробь ? Приём тот же самый: мысленно либо на черновике подставляем под корень и проводим упрощения:
, а единица, делённая на бесконечно малое и положительное значение – это «плюс» бесконечность: .
И на завершающем шаге бесконечность меняет знак:

Будьте очень внимательны в знаках! Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но и – это две разные вещи, и если вы недосмотрите за знаками, то допустите серьезную ошибку.

Следующие интегралы для самостоятельного рассмотрения:

Пример 38
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
а) , б)

В образце решения я опять использовал «быстрый» способ, но если вам трудно, то, конечно, сначала лучше найти неопредёленный интеграл.

И в заключение курса коротко о более редких случаях:

2.6. Когда разрывы на обоих концах и / или внутри отрезка интегрирования

2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин