2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?

Интеграл тоже встречается на практике, и это очень интересный случай. Для его вычисления без всяких комплексов можно использовать формулу:
– предел с двумя «динамическими» переменными, и давайте рассмотрим больше такой демонстрационный интеграл:

Пример 32
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна всюду, и прямое решение таково:

Второй, более академичный способ состоит в том, чтобы разделить интеграл на две части, обычно в качестве точки «распила» выбирают ноль:

Далее разделываемся с каждой половинкой по отдельности:

после чего суммируем трофеи:

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Знакомая геометрия:

В несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определённому интегралу, промежуток интегрирования выгодно споловинить, а результат – удвоить:

Переходим к ещё более любопытному случаю:
Пример 33

Подынтегральная функция всюду непрерывна, нечётна и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Но пользоваться этим НЕЛЬЗЯ, поскольку интеграл от такой функции может быть вовсе не определён. Как в нашем случае – по той причине:
– что этого предела не существует. Он не определён.

Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус» бесконечности, например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс» бесконечности. Или наоборот.

К такому же выводу можно прийти, если распилить пациента на две части:

и выполнить мартышкин труд:

Несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – значение итогового интеграла не определено, ибо не определена сумма . К слову, для чётной функции получаются бесконечности одного знака, и всё хорошо.

Следует отметить, что в теории рассматривается особый случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям с одинаковой скоростью. Это выражается пределом:

и называется сходимостью по Коши. Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла и обозначают так: (Valeur principale de Cauchy).

Но это имеет смысл включать в решение тогда, когда вы учитесь сильно углублённо :) В «массовой» же практике такие вещи ни к чему, а посему просто даём ответ, что значение интеграла не определено.

Тонкость же состоит в том, что несобственные интегралы от некоторых нечётных функций определены и в самом деле равны нулю! А именно, это те функции, для которых «половинки» сходятся, равны по модулю и противоположны по знаку (в силу нечётности функции):

Пример 34
Исследовать сходимость несобственного интеграла.

Это пример для самостоятельного решения. Но на практике, разумеется, функция не обязана быть чётной или нечётной, пожалуйста: – используем «двойной» предел или делим интеграл на две части в удобной точке. Если оказалось, что один интеграл равен , а другой , то общего интеграла не существует.

2.5. Несобственные интегралы второго рода

2.3. Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин