1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком функции , которая непрерывна и неотрицательна на отрезке :

И смысл прост. Определённый интеграл численно равен площади (заштрихована на чертеже) этой криволинейной трапеции. Площадь, как многие помнят, стандартно обозначается буквой .

В самом начале курса я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии, это число – есть ПЛОЩАДЬ.

Рассмотрим, например, определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости вполне определённую непрерывную кривую, располагающуюся выше оси абсцисс (нам даже не важнА её форма), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

И вообще, любому определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Эта фигура не обязательно расположена выше оси абсцисс, она может располагаться и ниже, может располагаться и там и там; может быть более простой или более сложной.

В простых случаях (квадрат, треугольник и т.д.) площадь легко рассчитывается по «школьным» формулам, но что делать в случаях остальных? Привлечь на помощь определённый интеграл! Рассмотрим самую популярную и самую распространенную тематическую задачу:

1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?

1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин