1.3. Простейшие определённые интегралы

Начинаем:

Пример 1
Вычислить определенный интеграл

Сначала решение, затем комментарии:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице (см. Приложения) с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно сразу отделить от и вынести за скобку (кстати, ещё одно свойство). Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2
Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. ОБЯЗАТЕЛЬНО прорешиваем все предлагаемые мной примеры от руки!! Ручка и тетрадь под рукой? Отлично. Кроме того, открываем и освежаем в памяти Таблицу интегралов и Таблицу производных (см. приложения к курсу).

…всё получилось? Свериться с решениями можно в конце книги.

Также проверьте, есть ли у вас калькулятор.

Хотя бы самый простой. Но лучше с функциями (логарифмами, синусами и т.д.). На всякий бедственный случай прилагаю к курсу калькулятор в Экселе. А ещё лучше, если у вас есть калькулятор, который считает обыкновенные дроби. Потому что с дробовиком всё нипочём.

…оружие под рукой? Продолжаем!

Пример 3
Вычислить определенный интеграл

Сначала решение, затем комментарии:

(1) Используем свойство линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений,
в частности, часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ.

Поэтому будьте внимательны! Особое внимание заостряю на 3-м слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, здесь очень часто теряют минус: (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается подробно).

Следует заметить, что рассмотренный способ решения – не единственный, и при определенном опыте его можно значительно сократить. Примерно так:

Здесь устно используем правила линейности, устно интегрируем по таблице и в результате получаем всего лишь одну скобку с отчёркиванием пределов: (в отличие от трёх скобок в первом способе). Далее в «цельную» первообразную функцию, сначала подставляем 4, затем –2, опять же выполняя все действия в уме.

Какие достоинства у «короткого» способа решения? Быстрота и компактность записи. А недостатки? Повышенный риск допустить ошибку. Поэтому «чайникам» я рекомендую подробное решение. А лучше оба. Для сверки.

Кстати, о сверках и проверках. Запомните красное правило:

Перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница,
полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Ибо, если она найдена неверно, то и всё остальное тоже будет неправильным.

Так, применительно к рассмотренному примеру: перед тем, как в первообразную функцию подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:
– получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.

Пример 4
Вычислить определенный интеграл

Решаем самостоятельно. И коротко, и подробно.

1.4. Замена переменной в определенном интеграле

1.2. Некоторые свойства определённого интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин