1.11. А если подынтегральная функция нечётная?

Вам понравится ещё больше :)

Кратко напомню, что нечётная функция характеризуется свойством , и для его проверки ВМЕСТО опять же нужно подставить . Если удастся вынести минус и получить ту же функцию с противоположным знаком, то функция нечётная. Тривиальные примеры:

, проверка: ,
, проверка:
и нечётен, например, синус: , поскольку

Если подынтегральная функция является нечётной, то . Такие интегралы можно встретить довольно часто:

Почему все они равны нулю?

Рассмотрим очередной пример с иллюстрацией, и заодно я продолжу знакомить вас с графиками функций, которые не встречались ранее:
Пример 25
Вычислить определенный интеграл

График функции представляет собой «лежащую на боку» кубическую параболу , и данная функция тоже нечётна, т.к. «минус» выносится из-под нечётного корня: .

График любой нечётной функции симметричен относительно начала координат, в частности:

И из центральной симметрии следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом.
При вычислении определенного интеграла площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно, .
И еще раз подчеркиваю разницу между заданиями:

1) Любой определенный интеграл – это всё равно формально площадь (пусть даже отрицательная). Поэтому , так как в силу нечётности функции площади «взаимно уничтожатся». Что и проиллюстрировано на конкретном примере.

2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача. Так, если бы нам было предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следовало бы вычислить следующим образом:

Применять ли рассмотренное свойство на практике? На самом деле вопрос не так прост, как кажется. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность промежутка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.

Но когда вам предложен короткий пример, то лучше «прикинуться простачком» и решить его подробно:

, ну а то, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее ;-)

2.1. Понятие несобственного интеграла

1.10. Интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля отрезку

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин