Научись решать за один день!

Экстремально короткий курс по интегралам

Научись решать за ОДИН день!

2.2. Несобственный интеграл первого рода

Это интеграл с бесконечным (и) пределом интегрирования, и самый популярный на практике вариант таков: . При этом подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует всегда проверять, и проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то это уже особый случай.

Для определённости положим, что , и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади.
И первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. И такой интеграл называют расходящимся (как отмечалось выше). Но. Как это ни парадоксально, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например, . Такие интегралы называют сходящимися.
Если криволинейная трапеция лежит под осью , то получится «минус» бесконечность либо отрицательное конечное число, т.е. со знаками всё как у «собрата».

И для решения рассматриваемого интеграла нужно немного модифицировать формулу Ньютона-Лейбница – с поправкой, что , а это, как вы догадываетесь, попахивает применением теории пределов:

В чем отличие от определённого интеграла? Да ни в чём особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию , уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

Следует отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и иногда его не существует.
Классический пример: . Несмотря на то, что косинус непрерывен на промежутке , этого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела.

Обратите внимание, что вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что другая буква ничем не хуже стандартного «икса». Ну, может, только не такая харизматичная :)

Теперь перейдём к «обычным» задачам и начнём с двух хрестоматийных примеров:

Пример 26
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

В таких заданиях чертежей строить не нужно, но понимания ради:

Подынтегральная функция непрерывна на промежутке , а значит, перед нами несобственный интеграл 1-рода (не забываем, что есть и другие!). Используем формулу :

– таким образом, несобственный интеграл расходится, т.е. площадь криволинейной трапеции бесконечна.

Не забываем пометить, что . Все поняли, почему? Ещё раз откройте Приложение Графики функций и взгляните на график логарифма: при неограниченном увеличении аргумента ветка логарифма уходит вверх на «плюс» бесконечность.

Таким образом, чтобы не было «затыков» с простейшими пределами,
важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания может выглядеть так:
“

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, несобственный интеграл расходится.
“

! При оформлении примера всегда указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 27
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Здесь ситуация вроде бы похожа:

Но: – интеграл сходится, и площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу!

Надеюсь ни у кого не возникло проблем с табличным интегралом и пониманием того, что при ветка гиперболы .

Чистовое оформление примера может быть ещё лаконичнее:
“
Подынтегральная функция непрерывна на , таким образом:

“
Тут даже без послесловия обошлось, ибо и так понятно, что интеграл сходится. И, что особенно приятно, никаких чертежей! По условию же не требуется.

Рассмотрим более содержательный пример:

Пример 28
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Со знаменателем всё хорошо и подынтегральная функция непрерывна на . Но интеграл не так прост, особенно для «чайника». Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать?

В этом случае целесообразно применить тот же алгоритм, что и для определённого интеграла,… вы точно наклеили его на стену? …Ай-яй-яй – а ведь давно пора организовать дома красный угол высшей математики!

1) Сначала попытаемся найти первообразную функцию . Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

И тут прямо напрашивается навести под корнем порядок, проведём замену и навесим на обе части дифференциалы:

, откуда выразим нужный кусок:

2) Проверим найденную первообразную дифференцированием:

– в результате получена исходная подынтегральная функция, что и требовалось проверить.

3) И теперь с несобственным интегралом никаких проблем, по формуле :

Точно так же, как и у «собрата», в несобственном интеграле допустима замена переменной с вычислением новых пределов интегрирования, и поэтому решение можно оформить другим способом:

Подынтегральная функция непрерывна на , проведём замену .

Вычислим новые пределы интегрирования:

Но самый продвинутый и быстрый способ – это подвести функцию под знак дифференциала, в этом случае решение будет выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на , таким образом:

Кому как нравится, кому как удобнее! И, конечно, тут нужно учитывать целесообразность того или иного способа – в зависимости от того, простой интеграл попался или посложнее.

А сейчас два типовых примера для самостоятельного решения:

Пример 29
Исследовать сходимость несобственных интегралов
а) , б)

В пункте «а» используем метод выделения полного квадрата. И обратите внимание на формулировку задания, если оно сформулировано именно так, то, вообще говоря, нужно дать ответ: «сходится», «расходится» или «не существует». На практике встречаются неберущиеся интегралы, и тогда этот вопрос решается не вычислением, а использованием признаков сравнения, которые не вошли в настоящий курс ввиду их малой распространенности в «массовых» работах.

2.3. Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

2.1. Понятие несобственного интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин