1.1. Понятие определённого интеграла

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . …и мы выполним все пункты от «а» до «бэ» =) (c) Отрезок называют отрезком интегрирования.

И перед тем, как перейдём к практике, небольшое faq по теме:

Что такое определенный интеграл? С формальной точки зрения, определённый интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число:

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти это число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу перепишите на листок и наклейте на самом видном месте!

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию . Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность . Готово.

Вопрос следующий, а на самом деле первый: всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Желающие могут сразу ознакомиться с Приложением Графики основных функций и их построение и оценить ситуацию геометрически: там, где не существует графика – те значения и не входят в область определения той или иной функции.

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определённого интеграла, желательно убедиться в том, что подынтегральная функция существует и непрерывна* на отрезке интегрирования. Понятие непрерывности понятно даже интуитивно – если график можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, то данная функция непрерывна на этом участке.

* Тем не менее, существуют интегралы и от разрывных функций, но они вам вряд ли встретятся (не припоминаю) в типовой практике по теме.

В противном случае может получиться такой казус:
…что делать???! – ведь нельзя же подставлять отрицательные числа под корень!

А сделать надо следующее: предварительно проверить функцию на сущестование и непрерывность. И если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) вам предложен несуществующий интеграл вроде или , то нужно дать ответ, что интеграла не существует, и обосновать, почему. Хотя, не нужно. Скорее всего, это опечатка, и преподаватель может предложить вам корректный вариант, поэтому будет хорошей идеей сразу получить консультацию на этот счёт.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим посвящена следующая глава.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике:

– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится математика? Конечно же, без всевозможных свойств:

1.2. Некоторые свойства определённого интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин