Несобственные интегралы





Несобственные интегралы. В пособии использованы задачи из сборника задач [1] и методических разработок кафедры высшей математики МФТИ. Для студентов первого курса университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Составитель Иванова С.В. Основные обозначение: E ⊂ R - промежуток числовой прямой. B(E) - множество функций, ограниченных на множестве E. C(E) - множество функций, непрерывных на множестве E. C 1 (E) - множество функций, непрерывно-дифференцируемых на множестве E. R(E) - множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке E. Определения. Определение 1.1. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Рассмотрим функцию, определенную, как интеграл Римана с переменным верхним пределом: F(β) = Z β a f(x)dx. Если b = +∞ или функция f — неограничена в любой левой окрестности точки b, то будем называть точку b — особой. Несобственный интеграл Z b a f(x)dx называется сходящимся, если существует конечный предел слева функции F(β) в точке b. Тогда, Z b a f(x)dx = lim β→b−0 F(β) = lim β→b−0 Z β a f(x)dx. В противном случае несобственный интеграл Z b a f(x)dx называется расходящимся. Замечание. Представление несобственного интеграла, как предела числовой функции, удобно при припоминании некоторых теорем, например, теорем связанных с предельным переходом в неравенствах и критерия Коши. Принцип локализации. Определение сходимости и расходимости несобственного интеграла с одной особой точкой опирается на понятие конечного предела непрерывной функции — интеграла с переменным верхним пределом от интегрируемой по Риману функции. Учитывая свойство аддитивности интеграла Римана относительно отрезка интегрирования, сходимость и расходимость несобственного интеграла зависит только от поведения подынтегральной функции в любой фиксированной окрестности особой точки (докажите самостоятельно). Это позволяет формулировать различные теоремы, связанные с исследованием на сходимость несобственного интеграла в произвольной фиксированной окрестности особой точки. Это свойство будем называть принципом локализации. Замечание. Аналогично, как предел справа интеграла Римана с переменным нижним пределом, определяется несобственный интеграл с одной особой точкий в левом конце промежутка интегрирования. Определение 1.2. Несобственный интеграл с двумя особыми точками. Пусть функция f определена на промежутке (a, b), где точки a, b ∈ R — особые, функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [α, β] ⊂ (a, b).Тогда для произвольной точки c ∈ (a, b) функция f удовлетворяет условиям определения 1.1 на промежутках (a, c] и [c, b). Несобственным интегралом с двумя особыми точками a и b назовается символ Z b a f dx = Z c a f dx + Z b c f dx. Интеграл Z b a f dx — сходится, если интегралы Z c a f dx и Z b c f dx — оба сходятся. Интеграл Z b a f dx — расходится, если хотя бы один из интегралов Z c a f dx или Z b c f dx расходится. Замечание. Требуется доказательство корректности определения 1.2: сходимость/расходимость интеграла Z b a f dx и его значение в случае сходимости не зависит от выбора точки c. (Доказать самостоятельно). Замечание. Аналогично, как сумму несобственных интералов с одной особой точкой на конце промежутка интегрирования, можно определить несобственые интегралы с любым конечным числом особых точек. Исследование на сходимость интегралов от знакопостоянных функций. Основные теоретические сведения. Формулировки и доказательства приводятся для несобственного интеграла с одной особой точкой в правом конце промежутка интегрирования. Для несобственного интеграла с одной особой точкой в левом конце промежутка интегрирования формулировки и доказательства аналогичны с точностью до соответствующих обозначений. Заметим, что, если подынтегральная функция f(x) — неотрицательна, то функция F(x), определенная как интеграл с переменным верхним пределом, является неотрицательной и неубывающей. Для доказательства существования конечного предела в определении несобственного интеграла, то есть сходимости несобственного интеграла, достаточно доказать ограниченность функции F. Теорема 1.1 (признак сравнения). Пусть функция f и g определены на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Пусть для любого x ∈ [a; b) выполнено: 0 6 f 6 g. Тогда 1) Сходимость интеграла Z b a g(x) dx влечет сходимость интеграла Z b a f(x) dx. 2) Расходимости интеграла Z b a f(x) dx влечет расходимость интеграла Z b a g(x) dx. Задание 1.1. Доказать признак сравнения. Замечание. В сооответствии с принципм локализации в принципе локализации неравенство 0 6 f 6 g достаточно проверять в некоторой окрестности особой точки b. Следствие 1.1. Признак замены на эквивалентную. Пусть функция f и g определены на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Пусть f(x) > 0 и g(x) > 0 в некоторой левой окрестности особой точки b, а также f ∼ g, x → b − 0. Тогда интегралы Z b a f(x) dx и Z b a g(x) dx — сходятся или расходятся одновременно. Следствие 1.2. Пусть функция f и g определены на промежутке [a; b), где −∞ < a < b 6 +∞, и для любого β ∈ [a; b) f ∈ R[a; β]. Пусть f(x) > 0 и g(x) > 0 в некоторой левой окрестности особой точки b, а также 1) lim x→b−0 f(x) g(x) = 0 и интеграл Z b a g(x) dx – сходится, то интеграл Z b a f(x) dx сходится; 2) lim x→b−0 f(x) g(x) = +∞ и интеграл Z b a g(x) dx – расходится, то интеграл Z b a f(x) dx расходится. Применение признака замены на эквивалентную функцию основано на использовании следующих эталонных интегралов, зависящих от параметров: эталон сходится расходится 1. Z 1 0 dx x α α < 1 α > 1; 2. Z +∞ 1 dx x α α > 1 α 6 1; 3. Z +∞ 0 dx e αx α > 0 α 6 0 ; 4. Z 1 2 0 dx x α| ln x| β α < 1, β ∈ R; или α = 1, β > 1; α > 1, β ∈ R; или α = 1, β 6 1; 5. Z +∞ 2 dx x α lnβ x α > 1, β ∈ R; или α = 1, β > 1; α < 1, β ∈ R; или α = 1, β 6 1; 6. Z +∞ 1 dx e αx β α > 0, β ∈ R; или α = 0, β > 1; α < 0, β ∈ R; или α = 0, β 6 1. Замечания о припоминании условий сходимости эталонных интегралов(не являются математическими утверждениями). Для эталонных интегралов 1 и 2 можно заметить, что при α = 1 оба интеграла расходятся. Делим множество значений параметра точкой 1 на две части и припоминаем, на которой из частей есть сходимость/расходимость. Первый вариант припоминания. Для интеграла 1: при α < 0 подынтегральная функция ограничена, интеграл сходится, при всех α < 1, при остальных расходится. Для интеграла 2. При α = 0 интеграл очевидно расходится, при всех α из промежутка (−∞, 1] — расходится. Второй вариант припоминания: промежуток интегрирования содержится в множестве (−∞, 1) или (1, +∞) — соответствующий интеграл сходится, иначе — соответствующий интеграл расходится. Для эталона 3 приемы припоминания можно построить аналогично, но «точкой деления» множества значений параметра является α = 0, в этом случае интегрируется константа по бесконечному промежутку, а при отрицательных α: 1 eαx > 1 при всех x ∈ [1, +∞) — интеграл засходится. Для эталонов 4 и 5: при α 6= 1 сходится, если сходится при β = 0, как эталон 1 и 2 соответственно. Расходимость аналогично. Можно сказать, что в этом случае сходимость определяется сходимостью основного однопараметрического эталона. При α = 1 оба эталона сходятся при β > 1 и расходятся при остальных β. Для эталона 6 при α 6= 0 аналогично используем эталон 3 при β = 0. При α = 0 эталон также сходятся при β > 1 и расходятся при остальных β. Условия сходимости/расходимости эталонных интегралов следует доказать (см. примеры 1 и 2) и далее использовать без доказательства, в том числе в экзаменационной контрольной работе. Приведем доказательства условий сходимости двух эталонных интегралов. Пример 1.1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл Z 1 0 dx x α . .1.1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл в зависимости параметра значит найти все значения параметра, при которых интеграл сходится, а также доказать, что при остальных значениях параметра интеграл расходится. Для доказательства условий сходимости вычислим интеграл по определению: Z 1 0 dx x α = lim t→0+ Z 1 t x −α dx = lim t→0+    x −α+1 −α + 1 1 t , α < 1; ln x| 1 t ; α = 1; x −α+1 −α + 1 1 t , α > 1; =    1 1−α , α < 1, инт. сх.; +∞, α = 1, инт. расx.; +∞, α = 1, инт. расx. /1.1. Пример 1.2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл Z 1 2 0 dx x α| ln x| β . .1.2. При α = 1 выполним замену переменной: Z 1 2 0 dx x| ln x| β = ln x = −t 0 → +∞ 1 2 → ln 2 = Z +∞ ln 2 dt t β . Полученный интеграл отличается от эталонного интеграла Z +∞ 1 dx x α промежутком интегирования и обозначением. В соответствии с принципом локализации промежуток интегрирования не влияет на сходимость. Значит интеграл сходится при β > 1 и расходится при β 6 1 (см. таблицу эталонов). Для доказательства сходимости интеграла при α < 1 рассмотрим вспомогательную функцию g(x) = 1 xγ , где γ = 1+α 2 . Так как γ < 1, интеграл Z 1 0 g(x)dx — сходится, как эталон (см. таблицу). Так как α < γ, то limx→0+ f(x) g(x) = limx→0+ x γ x α| ln x| β = limx→0+ x γ−α | ln x| β = 0. По следствию 1.2. признака сравнения исследуемый интеграл сходится. Для доказательства расходимости интеграла при α > 1 тоже рассмотрим функцию g(x) = 1 xγ , где γ = 1+α 2 . Здесь γ > 1, интеграл Z 1 0 g(x)dx — расходится, как эталон (см. таблицу). Кроме того, α > γ и limx→0+ f(x) g(x) = limx→0+ x γ x α| ln x| β = limx→0+ x γ−α | ln x| β = +∞. По следствию 1.2. признака сравнения исследуемый интеграл расходится. /1.2. Задание 1.3. Исследовать на сходимость эталонные интегралы 2, 3, 5 и 6. Типовая задача исследования интеграла от знакопостоянной функции и алгоритм ее решения. В типовых задачах исследования на сходимость интеграла от знакопостоянной функции предлагается, как правило, исследовать интеграл с двумя особыми точками на концах промежутка интегрирования в зависимости от параметра. Ключевым методом решения таких задач является сведение к эталону с помощью признака замены на эквивалентную функцию. Алгоритм 0. Для удобства записей обозначаем подынтегральную функцию, например, через f. 1. Обосновываем использование методов исследования несобственных интегралов от знакопостоянных функций, т.е. указываем что подынтегральная функция является знакопостоянной при каждом значении параметра. Специальных обоснований письменно приводить не нужно, но проверить знакопостоянство обязательно. 2. Анализируем особые точки интеграла и изолируем их в соответствии с определение интеграла с двумя особыми точками. Специальных обоснований письменно приводить не нужно, но проверить, что концы промежутка интегрирования являются особыми и других особых точек нет — обязательно. 3. Каждый из полученных интегралов с одной особенностью исследуем на сходимость отдельно. Для подынтегральной функции заменой на эквивалентную функцию выделяем главную часть и приводим ее к виду подынтегральной функции одного из эталонных интегралов. Применяем признак замены на эквивалентную (следствие 1.1.), указываем все значениея параметра, при которых полученный интеграл сходится и при которых расходится. 4. После исследования обоих несобсвенных интегралов с одной особой точкой применяем определение несобственного интеграла с двумя особенностями. Вывод о сходимости исследуемого интеграла достаточно написать только для промежутка сходимости, так как по определению интеграла с двумя особыми точками исследованием интегралов с одной особой точкой доказано, что при остальных значениях параметра расходится хотя бы один из интегралов-слагаемых, а значит, и исследуемый интеграл. Важно: если в решении не указазаны промежутки значений параметра, при которых интегралы с одной особой точкой расходятся, то в решении не обосновано почему получены все значения параметра, при которых исследуемый интеграл сходится! То есть, задача в этом случае не решена. Замечание о типичных ошибках. Подчеркнем, что условия теорем и следствий, используемых при исследовании несобственных интегралов на сходимость, сформулированы для подынтегральных функций, а выводы — для интегралов. Часто встречающимися ошибками являются проверки аналогичных «условий» для интегралов: Обоснованное сравнение интегралов требует их вычисления (что, по крайней мере, существенно сложнее сравнения функций) или применения теоремы сравнения, то есть сравнения функций. Применение замены на эквивалентную функции для несобственного интеграла невозможно, так как интеграл — это или число, в случае сходимости, или +∞. Поэтому невозможно записать предел в определении эквивалентности двух функций. Отношение для интегралов «интегралы эквивалентны по сходимости»  сх. ∼  , определяемое лектором для существенного сокрашения записей, требует внимательного использования и не упрощает записей при решении практических задач. Обратите внимание, что в образце оформления решений символы несобственного интеграла используются только в условии и при изолировании особенностей в определении интеграла с двумя особенностями! Пример 1.3. Исследовать на сходимость интеграл Z +∞ 0 lnα−21(1 + sh x)· arctgα x 3 + x dx. .1.3. Решение с рассуждениями. Пусть f = lnα−21(1 + sh x) · arctgα x 3 + x . Так как аргумент логарифмической функции на рассмотриваемом промежутке больше или равен 1, то логарифм принимает неотрицательные значения, причем обращается в ноль только в точке x = 0. Аргумент арктангенса тоже неотрицателен на промежутке интегрирования и обращается в ноль только при x = 0. Значит подынтегральная функция f неотрицательна. Учитывая, что степени логарифмической функции и арктангенса зависят от параметра, функция f — неограничена в любой окрестности нуля при некоторых значениях параметра. Точка x = 0 — особая, точка x = +∞ — особая всегда. Изолируем особенности Z +∞ 0 f dx = Z 1 0 f dx + Z +∞ 1 f dx. Исследуем на сходимость при x → 0+. sh x ∼ x ln(1 + sh x) ∼ x lnα−21(1 + sh x) ∼ x α−21; x 3+x ∼ x 3 . Для получения этого результата можно рассуждать двумя способами: во-первых, x → 0, тогда x  3 (x много меньше трех), при замене на эквивалентную малое слагаемое можно отбросить; во-вторых, можно выполнить деление при получении представления формулой Маклорена: x x+3 = x 3(1+ x 3 ) = x 3 1 − x 3 + o(x)  , x → 0+, далее отбросить все члены, малые по сравнению с главной частью. arctg x 3+x ∼ x 3 arctgα x 3+x ∼ x 3 α . Итак, f ∼ x 2α−21 3α . 3 −α не может повлиять на сходимость, так как этот множитель нигде не обращается в ноль, его можно обозначить постоянной C. Подчеркнем, что в некоторых задачах выражение независящее от x, но зависящее от α может влиять на решение. См. примеры 1.4, 1.5 и 1.6. Преобразуем полученную функцию к виду записи первого эталона: f ∼ C x21−2α . Интеграл вида Z 1 0 dx x α сходится, если показатель степени меньше 1, то есть 21 − 2α < 1. При α > 10 — интеграл сходится, при α 6 10 — расходится. По признаку замены на эквивалентную мы получили условия сходимости/расходимости исследуемого интеграла в окрестности особой точки x = 0. Исследуем при x → +∞. ln (1 + sh x) = ln  1 + e x 2 − e−x 2  (1) ∼ ln e x 2  ∼ x. Замену не эквивалентную (1) можно получить рассуждая, например, следующими двумя способами: во-первых, 1  e x , e −x  e x , при x  1, малые слагаемые можно отбросить; вовторых, ln  1 + e x 2 − e−x 2  = ln e x 2 + ln 2 e x + 1 − 1 e 2x  = x − ln 2 + 2 e x + o 1 e x  ∼ x. На последнем шаге отброшены все слагаемые, малые по сравнению с главной частью выражения. x 3+x ∼ 1 (делим числитель и знаменатель на x и переходим к пределу или замечаем, что 3  x и отбрасываем малое слагаемое) arctg x 3+x ∼ arctg 1 = π 4 . Так как π 4 α не обращается в ноль ни при каких начениях α, то не влияет на сходимость. Итак, f ∼ Cxα−21 = C x21−α . Эталон Z +∞ 1 dx x α сходится, если показатель степени в знаменателе больше 1 и расходится в остальных случаях: 21 − α > 1. При α < 20 интегралы сходятся, при α > 20 — расходятся. Применяя определение несобственного интеграла с двумя особенностями получаем, что интеграл сходится только при α ∈ (10, 20). В заключение отметим, что записи несобственных интегралов использовались только для изолирования особенностей и напоминания эталонов в решении с комментариями./. . Оформление решения примера 1.3. Z +∞ 0 lnα−21(1 + sh x) · arctgα x 3 + x | {z } f>0 dx = Z 1 0 f dx + Z +∞ 1 f dx. Исследуем на сходимость при x → 0+. ln(1 + sh x) ∼ ln(1 + x) ∼ x lnα−21(1 + sh x) ∼ x α−21; arctg x 3+x ∼ x 3 arctgα x 3+x ∼ x 3 α . Итак, f ∼ x 2α−21 3α = C x21−2α . При 21 − 2α 

не проверено
  • Автор сообщения: Лена

Комментариев пока нет. Вы можете стать первым!  
Добавить комментарий