Научись решать за несколько дней!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!



2.3.4. Гипергеометрическое распределение вероятностей


Пожалуй, второе по распространённости после биномиального распределения, в котором нет ничего гиперсложного. Да и сложного тоже:

Пусть в совокупности из  объектов содержатся  объектов, обладающие некоторым признаком. Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается  объектов. Тогда случайная величина  – количество «особых» объектов в выборке – распределена по гипергеометрическому закону.

С гипергеометрическим законом распределения вероятностей мы неоднократно сталкивались ранее и фактически полностью построили в Задаче 26:

В ящике находится  деталей, среди которых  бракованных. Наудачу извлекаются  детали. Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны

По сути дела, здесь фигурирует случайная величина  – количество бракованных деталей в выборке. Прорешаем данную задачу под другим углом зрения, а именно, найдём закон распределения этой случайной величины, которая, очевидно, может принять одно из следующих значений: . Соответствующие вероятности  определяются формулами и правилами комбинаторики и классическим определением вероятности.

Сначала вычислим количество всех возможных наборов из 2 деталей. Две детали можно выбрать  способами. Дальнейшие действия удобно занумеровать:

0)  (в выборке нет бракованных деталей)
 способами можно извлечь 2 качественные детали.

По классическому определению:
 – вероятность того, среди 2 извлечённых деталей не будет бракованных.

1)
 способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.

По тому же определению:
 – вероятность того, среди 2 извлечённых деталей будет 1 бракованная.

2) И, наконец, :
 способами можно извлечь 2 бракованные детали.
 – вероятность того, что обе извлечённые детали будут бракованными.

Таким образом, закон распределения количества бракованных деталей в выборке:

Контроль:

Заметьте, что здесь уже предпочтительны обыкновенные дроби – они и точнее и смотрятся лучше.

Теперь разберём более содержательную задачу, в которой я расскажу вам об общих формулах и полезных технических приёмах решения. Как в передаче «Что? Где? Когда?» выносят чёрные ящики, так в теории вероятностей предлагают урны с шарами :)

Задача 103
Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3 шара.

! Примечание: оговорка «без возвращения» является важной, но её часто опускают, подразумевая этот факт по умолчанию

Составить функцию распределения случайной величины  – числа черных шаров среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник и функцию распределению. Вычислить вероятность того, что в выборке будет не менее двух чёрных шаров. Вычислить .

Как говорится, весь джентльменский набор / полная дамская сумочка.

Кстати, если не нравятся шары, можете представить, что это белые и чёрные котята или…, не знаю, например, красные и чёрные карты.

Решение: поскольку в условии речь идёт о выборке объектов из совокупности и о количестве «особенных» объектов в этой выборке, то предложенная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение вероятностей.

Обозначим исходные данные стандартными буквами:

 – размер совокупности;
  – количество черных шаров в совокупности («особенный» признак);
 размер выборки.

Очевидно, что случайная величина  (кол-во чёрных шаров в выборке) может принять следующие значения:

Следует отметить, что этих значений может быть и меньше. В каком случае?
В случае если , то есть, если во всей совокупности чёрных шаров МЕНЬШЕ, чем размер выборки. Так, если в урне всего 2 чёрных шара, то значение  отпадёт.

Для вычисления гипергеометрических вероятностей существует формула , но я вам крайне советую вникать в смысл выполняемых действий.

Сначала вычислим знаменатель дроби:
 способами можно выбрать 3 шара из 10. Данное значение нам потребуется при вычислении каждой вероятности. И каждую вероятность мы вычислим по формуле:
, понеслось:

0)  (в выборке нет чёрных шаров)
 способами можно выбрать 0 чёрных и 3 белых шара.

По классическому определению:
 – вероятность того, что в выборке будет 0 черных шаров.

Результаты лучше записывать в трёх видах: несокращённой обыкновенной дробью, сокращённой обыкновенной дробью и десятичной дробью (с 3-4-5 знаками после запятой). Это упростит решение, и скоро будет понятно, как.

Кроме того, вероятности выгодно и приятно знать заранее. Для этого можно использовать экселевскую функцию =ГИПЕРГЕОМЕТ(x; n; M; N) или сразу воспользоваться Калькулятором (Пункт 8). Едем дальше:

1)
 способами можно выбрать 1 чёрный и 2 белых шара.
 – вероятность того, что в выборке окажется 1 ч. шар.

2)
 способами можно выбрать 2 чёрных и 1 белый шар.
 – вероятность того, что в выборке окажется 2 ч. шара.

3)
 способами можно выбрать 3 чёрных и 0 белых шаров.
 – вероятность того, что в выборке будет 3 ч. шара.

Таким образом, количество чёрных шаров в выборке распределено по следующему закону:

Вероятности записываем обыкновенными дробями!
Контроль: , ч.т.п.

В крайнем случае можно использовать десятичные дроби (если обыкновенные сильно наворочены), единственное, нужно следить, чтобы сумма округлённых значений равнялась единице и при необходимости «подгонять» некоторые вероятности. Однако помните, что это уже будет не точным ответом!
Но десятичные значения, безусловно, удобны для построения многоугольника распределения:

Математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения можно вычислить в обход общего алгоритма – по специальным формулам:

 – среднее количество чёрных шаров в выборке (при многократном повторении таких выборок).

 – мера рассеяния количества чёрных шаров относительно матожидания.

Составим функцию распределения вероятностей. И здесь как раз пригодятся несокращённые обыкновенные дроби. Вычислим накопленные частоты:

 – десятичные значения нужны для ручного построения графика.

Таким образом, искомая функция:

– её значения тоже записываем обыкновенными дробями! Дабы соблюсти точность. Строим график:

Выходим на финишную прямую. Вычислим  – вероятность того, что в выборке будет не менее двух чёрных шаров. Это можно сделать не единственным способом. Прямым суммированием вероятностей несовместных исходов:

или с помощью функции распределения и штатной формулы :

Напоминаю, что здесь существуют критично важные тонкости (см. по ссылке выше).

И, наконец, рассчитываем стандартную вероятность  того, что значение случайной величины  отклонится от математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение :

Готово.

Основная трудность гг-распределений состоит в технике вычислений – в них нужно грамотно управляться с дробями, которые частенько получаются страшноватыми. Это к слову, относится и к другим распределениям – дана где-нибудь вероятность , и, пожалуйста, обыкновенные дроби рулят.

Ну, и конечно, не забываем о том, КАКАЯ ИМЕННО дана случайная величина. Так, в разобранном задании может быть предложена величина  – количество белых шаров в выборке, и тогда решение примет «зеркальный» характер.

Миниатюрная задача для закрепления материала:

Задача 104
В группе из шести студентов два отличника. Наугад выбрали двух человек. Составить закон распределения случайной величины  – число отличников среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить график функции распределения.

Желающие могут решить эту же задачу для случая, когда в группе всего лишь один отличник ;)

…Есть? Отлично!

2.4.1. Непрерывная случайная величина

2.3.3. Распределение Пуассона

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин




© mathprofi.ru / com, 2010-2022, Высшая математика – просто и доступно!