Научись решать за несколько дней!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!



2.3.1. Геометрическое распределение вероятностей


И геометрия тут не при чём.

Пусть проводится серия испытаний, в каждом из которых случайное событие  может появиться с вероятностью; причём, испытания заканчиваются при первом же появлении данного события. Тогда случайная величина , характеризующая количество совершённых попыток, как раз и имеет геометрическое распределение.

Рассмотрим, например, такое событие:  – в результате броска монеты выпадет орёл.

Начинаем подбрасывать монету. Совершенно понятно, что вероятность появления орла в любом испытании равна , и наша задача заключается в том, чтобы проанализировать – как скоро появится первый орёл (после чего серия закончится). Составим закон распределения случайной величины  – количества проведённых бросков.

Если , то это означает, что орёл выпал в первой же попытке. Вероятность этого события равна:

Если , то в первой попытке выпала решка (вероятность ), а во второй – орёл. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:

Если , то в первых двух испытаниях появились решки, а в третьем – орёл. По той же теореме:

Если , то первый орёл появился лишь в четвёртом испытании:

…сколько же можно подбрасывать монету?  Теоретически – до бесконечности.

И перед нами пример дискретной случайной величины, которая  принимает бесконечное и счётное количество значений. В общем виде её закон распределения записывается следующим образом:

Вероятности  представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом  и основанием . Отсюда и название – геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма такой прогрессии равна:

, что полностью соответствует вероятностному смыслу задачи.

В частности, для примера с «волшебной» монетой:

сумма вероятностей составляет:
Однако жизнь такова, что всё когда-то заканчивается, и поэтому в практических задачах количество испытаний почти всегда ограничивается. На «грубую» такое распределение тоже можно считать геометрическим, и сейчас мы разберём классический пример:

Задача 96
Стрелок производит несколько выстрелов в цель до первого попадания, имея всего 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание , дисперсию , где  – количество произведённых выстрелов. Построить многоугольник и функцию распределения данной случайной величины. Найти .

…если что-то позабылось, то я заботливо проставлю ссылки, решаем:
По условию, вероятность попадания в каждом испытании равна . Тогда вероятность промаха: .

Составим закон распределения случайной величины :

1)  
Это означает, что стрелок попал с 1-й попытки и на этом испытания закончились:

2)  – в первом испытании промах, во втором – попадание. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:

3)  – попадание с третьей попытки, мимо-мимо, попал:


И, наконец:

4)  

Здесь стрелок может промахнуться или попасть, но испытания заканчиваются в любом случае. Вместе с патронами. По теоремам умножения вероятностей зависимых и сложения вероятностей несовместных событий:

Таким образом, искомый закон распределения:

Обязательно выполняем проверку:
, что и требовалось проверить.

Построим многоугольник распределения:

Вычислим  и . Для геометрического распределения существуют готовые формулы нахождения математического ожидания и дисперсии: , но нам ими воспользоваться не удастся – по той причине, что количество испытаний не бесконечно.

Поэтому придётся использовать общий алгоритм. Заполним расчётную таблицу:

Математическое ожидание лежит готовенькое:   – это среднеожидаемое количество выстрелов (при многократном повторении таких серий из 4 выстрелов).

Дисперсию вычислим по формуле:
 – это мера рассеяния количества выстрелов относительно математического ожидания.

Составим функцию распределения вероятностей:

Выполним чертёж:

Найдём  – вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания не более чем на .

Сначала вычислим среднее квадратическое отклонение:

затем – требуемую вероятность:
             – вспоминаем, что это за интервал, и почему вероятность получилась столь большой ;)

Готово!

Но при всей кажущейся простоте, у этого задания существуют подводные камни. Главное коварство состоит в том, условие может быть сформулировано по такому же шаблону, но случайная величина быть ДРУГОЙ. Например:

 – количество промахов.

В этом случае закон распределения вероятностей примет следующий вид:

Здесь  – вероятность того, что будет 3 промаха (и в 4-й попытке попадание);  – вероятность того, что стрелок совершит 4 промаха.

Естественно, что числовые характеристики и содержательные выводы этой задачи будут несколько другими, однако сам закон распределения сохранит свой «геометрический» характер.

Вот ещё одна хитрая вариация, которая мне встречалась на практике:

 – количество неизрасходованных патронов.

Закон распределения этой величины таков:

Проанализируйте данный случай самостоятельно. Кстати, в примере, который мы прорешали, случайную величину  можно эквивалентно сформулировать, как Количество израсходованных патронов.

Таким образом, к решению подобных задач тоже нельзя подходить формально – во избежание ошибок, ВСЕГДА ДУМАЙТЕ ГОЛОВОЙ и анализируйте реалистичность полученных результатов. И тогда полученное значение  в разобранной задаче вас явно насторожит :)

2.3.2. Биномиальное распределение вероятностей

2.2.9. Контрольное задание по ДСВ

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин




© mathprofi.ru / com, 2010-2022, Высшая математика – просто и доступно!