Научись решать за несколько дней!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!



1.6.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий


Вероятность появления одного из двух несовместных событий  или  (без разницы какого),  равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий  и :

Вспомним алгебру событий: сложение событий означает появление хотя бы одного из суммируемых событий, и, поскольку события в данном случае НЕсовместны, то одного и только одного из этих событий (безразлично какого).

Следует отметить, что для совместных событий равенство  будет неверным. Теорема сложения вероятностей совместных событий имеет гораздо меньшее значение практики (и более того, может запутать «чайника»), поэтому о ней я расскажу вскользь и чуть позже.
А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие труда учёбы – игральную кость с полной группой событий , которые состоят в том, что при броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие  – в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:  (выпадет 5 или 6 очков). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4 очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков:
, и так далее.

С помощью этой теоремы можно решить некоторые задачи, которые нам встретились в параграфе о классическом определении вероятности. Вспомним условие и краткое решение Задачи 27: «Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов?»

В той задаче мы сначала нашли  (количество всех возможных сочетаний трёх вопросов), затем вычислили  количество благоприятствующих исходов и вероятность  того, что студент сдаст экзамен.

Но здесь вместо правила сложений комбинаций в ходу и другая схема рассуждений. Рассмотрим два несовместных события:
 – студент ответит на 2 вопроса из трёх;
 – студент ответит на все три вопроса.

Теперь, пользуясь классическим определением, найдём их вероятности:

Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой  (ответ на два вопроса из трёх или на все вопросы). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.
Разминаемся, на этот раз в подсобке:)

Задача 37
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

Бесконечных «хвостов» после запятых тут нет, и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.

По теореме сложения несовместных событий:
 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ: 0,55

Безусловно, задача разрешима и «чисто» через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта количества благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

Ещё один товар на соседнем стеллаже:

Задача 38
В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Аналогично – здесь можно использовать комбинаторное правило суммы, но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал, а то и вовсе проехал мимо с песнями. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий! Решение и ответ в конце книги (оформлено в «ускоренном» стиле).

Если у вас возникло хоть какое-то недопонимание по вышеизложенному материалу, то настоятельно рекомендую обратиться к предыдущим параграфам.

Ибо оставлять пробелы в комбинаторике или задачах на классическое определение – не есть хорошо =( В тяжёлом случае следует перечитать основы теории вероятностей.

Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:

1.6.2. Зависимые и независимые события

1.5. Геометрическое определение вероятности

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин




© mathprofi.ru / com, 2010-2022, Высшая математика – просто и доступно!